800 
aangewezen, waarvoor deze relaties zijn vervuld, dan bezit P het 
ordinaalgetal O. 
In de theorie der welgeordende verzamelingen moeten allereerst de 
beide hoofdtheorema’s, dat twee willekeurige welgeordende verza- 
melingen vergelijkbaar zijn, en dat elke deelverzameling eener wel- 
geordende verzameling een eerste element bezit, die de belangrijkste 
bewijsmiddelen der klassieke theorie vormen, worden prijsgegeven ; 
dientengevolge heeft hier de nieuwe constructieve theorie met haar 
voorgangster zoo goed als geen punten van overeenstemming meer, 
noch naar den vorm, noch naar den inhoud. In de plaats van het 
laatstgenoemde hoofdtheorema treedt de volgende stelling: 
Een wet, die in een welgeordende soort een element bepaalt, en aan 
elk reeds bepaald element hetzij de stuiting van het proces, hetzij een 
er aan voorafgaand element toevoegt, bepaalt stellig een element, 
waaraan het de stuiting van het proces toevoegt. 
De theorie der vlakke puntverzamelingen gaat uit van de verzame- 
ling Q der kwadraten, waarvan ten opzichte van een rechthoekig 
coördinatensysteem een der hoekpunten de coördinaten en ~ en de 
1 1 
(aan de assen evenwijdige) zijden de lengte — of - — - bezitten. Ver- 
volgens wordt onder een punt van het vlak verstaan een onbepaald 
voortgezette reeks van kwadraten van Q, elk waarvan gelegen is 
in het binnengebied van het voorafgaande. 
Op dezen grondslag moeten van de klassieke theorie der punt- 
verzamelingen weder talrijke stellingen vervallen. Zoo blijft van het 
hoofdtheorema van Cantor slechts het volgende negatieve gedeelte 
van kracht: 
Er kan geen afgesloten geordende puntverzameling bestaan, waarvan 
de machtig heid grooter is dan de aftelbaar oneindige, en waarvan 
ieder punt eenerzijds een eerstvolgend punt bezit, andererzijds van 
aftelbare orde is resp. een eindigen afstand bezit van de soort der 
later geordende punten. 
Bovendien moet deze partieele eigenschap bewezen worden volgens 
een methode, ganschelijk verschillend van de gewone, die immers op 
het prineipium tertii exclusi berust. Men kan b.v. als volgt redeneeren : 
Een puntverzameling zi, waarvan de machtigheid grooter is, dan 
de aftelbaar oneindige, is slechts zóó te ordenen, dat achtereenvol- 
gens eindige verzamelingen i x , i 2 , . . . van eindige kenzenreeksen, die 
geen voortzettingen van elkander zijn, geordend worden, waarbij 
dan voor elke k zekerheid moet bestaan, dat S { 4 +i, 4+2, . . .J van ieder 
