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Die Erganzungselemente erster Ordnung von H entsprechen den 
Dedekindschen Schnitten von H. 
Das Erganzungselement erster Ordnung r von H lieisst ein 
Erganzungselement zweiter Ordnung von H, wenn für jedes Element 
g von H die Relation g < r entweder hergeleitet, oder ad absurdum 
geführt werden kann, oder, was auf dasselbe liinauskommt, wenn r' 
sich so walden lasst, dass kein g mit der Eigenschaft, dass die 
rechten Endelemente von f\ und f'h für jedes v g identisch sind, 
existieren kann. 
Das Erganzungselement zweiter Ordnung r von H heisst ein 
Ergcinzungselement dritter Ordnung von H, wenn für jedes Element 
g von H entweder die Relation g )> r (d. h. man kann ein links 
von g gelegenes f v von r bestimmen), oder die Relation g <r 
hergeleitet werden kann, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn 
r' sich so walden lasst, dass zu jedem f' ^ ein solches f' v bestimmt 
werden kann, dessen rechtes Endelement links vom rechten End- 
elemente von f' n gelegen ist. 
Ein Erganzungselement dritter Ordnung von H heisst ein Erganzungs- 
element vierter Ordnung von H, wenn für jedes Element g von H 
entweder die Relation g r, oder die Relation g = r (d. h. g und 
r fallen in H zusammen), oder schliesslich g <C r (d. h. man kann 
ein rechts von g gelegenes f v von r bestimmen) hergeleitet werden 
kann, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn r' sich so walden 
lasst, dass zu jedem f' fJ ein solches v g bestimmt werden kann, 
dass die beiden Endelemente von f\ von den beiden Endelementen 
von f'ju verschieden sind. 
Die vorstehenden Definitionen der Ausfüllungselemente sowie der 
Erganzungselemente nullter, erster, zweiter, dritter und vierter Ord- 
nung von H sind für gegebene ordnende Relationen in H offenbar 
unabhangig vom Abzahlungsgesetze y. 
Sei M eine endliche Menge oder eine Fundamentalreihe von 
Erganzungselementen vierter Ordnung von H v , deren je zwei in H> 
örtlich verschieden sind und deren jedes von jedem Elemente von H v in 
Hj örtlich verschieden ist. Die Vereinigung von M und H v bildet eine 
abzahlbar unendliche, im engern Sinne überall dicht geordnete Menge 
Hv- |_i. Jedes Erganzungselement von R. t ist gleichzeitig Erganzungs- 
element von H v -\- 1 und jedes Erganzungselement A-ter Ordnung von 
R + i fallt in H v + \ zusammen mit einem Erganzungselemente A-ter 
Ordnung von H v . 
Die vorstehende Beziehung besteld sowohl zwischen der geordneten 
Menge der endlichen Dualbrüche H„ und der geordneten Menge der 
