808 
* 4 - 
Existenz der Dezimalbruchentivickelung reellev 
algebraischer Zahlen. 
Seien r l und r, beliebige reelle algebraische Zahlen, d. h, je 
einer algebraischen Gleichung' mit ganzen rationalen Koeffizienten 
genügende Ausfüllungselemente der von den rationalen Zahlen 
gebildeten geordneten Menge ff,. Alsdann kann man eine algebra- 
ische Gleichung F (x) = a, x 11 -|- a^x n ~ l -(-••••+ a n — + a n = 0 
mit ganzen rationalen Koeffizienten und nicht verschwindender 
Diskriminante D bestimmen, der sowohl i\ wie r, genügt. Seien 
w v iv 2 ,....w n die (mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit 
approximierbaren) Wurzeln von F (x) = 0, so können w r und iv s 
für r^s nicht in ff, zusammenfallen. Sei y eine rationale Zahl, 
welche die Moduln aller Wurzeln von F {x) — 0 übersteigt, und b =2p, 
so ist 
| w r - w s J < b (r 7^ j). 
Weil aber 
n (w y . 
l^v 
— V = Zï=i' 
so ist andrerseits 
W r — IV s 
*> 
D 
a 0 2n — 2 b n1i - n — 2 
1 
so dass wir mittels hinreichend genauer Approximierung von >\ 
und r, ent weder Sicherheit erlangen, dass i\ und r , mit derselben 
Wurzel w„_ zusammenfallen, oder ein r, und r, trennendes rationales 
Intervall bestimmen können. Indem wir dieses Resultat zunachst 
spezialisieren für den Fall, dass r, eine rationale Zahl ist, ersehen 
wir mühelos, dass r, in H t entweder mit einem Elemente von ff, 
zusammenfallt oder von jedem Elemente von H, örtlich verschieden 
ist, so dass i\ sich als Er ganzungs element vierler Ordnung von H, 
erweist, mithin soivohl in einen eindeutigen unendlichen Uezimalbruch, 
wie in einen eindeutigen regelmassigen Kettenbruch entwickelt werden kann. 
Setzen wir min weiter voraus, dass weder ?\ noch r, mit einem 
Elemente von ff, zusammenfallt, so fallen sie entweder in ff, zu- 
sammen, oder sind in ff, örtlich verschieden. 
Hieraus folgern wir, dass die Spezies der reellen algebraischen 
Zahlen eine abzahlbar unendliche*, im engern Sinne überall dicht 
geordnete Menge ff , bildet, welche zu H , die am Schluss von § 2 
erklarte Beziehung eines ff v -\-\ zu einem entsprechenden H v besitzt. 
