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§ 5. 
Ex is t enz der Dezimalbruchentwickelung von n. 
Seien n und b ganze po.sitive Zahlen und a<^b. Wir verstehen 
unter K n den un bedingt konvergenten l ) unendlichen Kettenbruch 
a a 3 00 
J' ~"(2v + 1)6 Ji 
und unter K m den unbedingt konvergenten unendlichen Kettenbruch 
a 3 a 3 “ 
_(2rn f I ) 4 (2r + 1 ) b_ 
Alsdann geiten die Beziehungen 
‘o b =K ’ 
b- K , 
K„ 
(ra > 1) 
(2m 4- 1) b — Km+i 
Seien x 0 , x lt x t , . . . reelle Variablen, welche durch die Beziehungen 
a 
b — x. 
(ra> r 
(t) 
(2ra -f 1) b — x m +i 
verbanden sind, und x' „ eine rationale Zalil zwischen 0 und J, also 
<3^- Mittels (f) leiten wir aus x' a weitere rationale Zahlen 
•da- ii x'a— 2 , • • • • x\, x\ und x' a +i, #'„+ 2 , . . . . her. Von diesen 
fallen x' a ^\, x' a ^ 2 , • • • • x\, x\ alle positiv aus, wahrend x' a —i, 
x' a _ 2 , • ■ ■ x\ alle <36 und x\<^ — wird. Weiter kann man ein 
kleinstes r^>a bestimmen mit der Eigenschaft, dass x/ < 0 oder > i 
wird 3 ). 
Sei « eine (für das weitere hinreichend klein gewahlte) positive 
rationale Zahl und ein solches geschlossenes rationales Wert- 
intervall von x a , dass sowohl tj a , wie die auf Grund von (f) ent- 
sprechenden Wertintervalle Va+i, ■ • • V>- von ‘ v a+ 1 » ^«+ 2 , ■ ■ • $r 
rechts vom Werte 0 und links vom Werte 1 liegen, wahrend, wenn 
wir noch die auf Grund von (f) entsprechenden Wertintervalle von 
•r„_i, <r a _ 2 , .... x„ mit Va-i, Va- 2 , ■ ■ ■ Vo bezeichnen, jedes K, für 
0<v<_r in v* * enthalten ist und eine Entfernung ^>2 « von den 
Endwerten von i] v besitzt. Alsdann können wir eine solche ganze 
nichtnegative Zahl s<r bestimmen, dass x\, x\, . . . .r' s _i der Reihe 
nach in ij 0 , i\ lt ...Vs-\ enthalten sind, wahrend x' s eine Entfernung 
> « von K s besitzt. 
') Vgl. Pringsheim, Münchener Berichte 28 (1898), S. 299 fgg. 
*) a. a. O., S. 318. 
