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Ordnung von H mittels positiver Rationalitdtsbeiveise in H (die ein 
Element von H bestimmen, mit dein r zusammenfallt) oder posi- 
tiver Irrationalitatsbeiveise in H (die r als von jedem Elemente von 
H örtlich verschieden erkennen lassen). Hierzu ist zu bemerken, 
dass sich aus einem negativen Rationalitats- bziu. Irrationalitatsbeiveise 
in H (der die Annahme, dass r von jedem Elemente von H örtlich 
verschieden ware bzw. mit einem Elemente von H zusammenfiele, 
ad absurdum führt) nicht einmal folgern lasst, dass r Erganzungs- 
element erster Ordnung von H ist. Eben deshalb haben wir in 
diesem $ den LAMBERTschen negativen Irrationalitatsbeweis von jt 
einer passenden Umarbeitung unterzogen und in die obige positive 
Form gebracht. Die weiteren klassischen Beweise desselben Satzes 
lassen sich übrigens in analoger Weise erganzen. 
$ 6 . 
Reelle Zahlen , welche keine Dezimalbruchentivickelung besitzen. 
Sei c n die n- te Ziffer der unendlichen Dezimalbruchentwickelnng 
von jt. Wir werden sagen, dass n sich im ersten Falie befindet, 
wenn c„, c„_ j_i, .... c n + 4 alle gleich sind, im zweiten Falie, wenn 
c n , .... c n + 9 alle verschieden sind, und im driften Falie, wenn 
weder der erste, noch der zweite Fall vorliegt. 
Wir definiëren ein Erganzungselement r der geordneten Menge 
der endlichen Dezimalbrüche H , mittels der unendlichen Reihe 
2 a n . 10-’- 1 , 
n = 1 
wo a n — 0, wenn n sich im ersten Falie befindet, a„ = 10, wenn 
n sich im zweiten Falie betindet, sonst a n = 9. 
Dieses Erganzungselement würde erst dann ein Erganzungselement 
erster Ordnung von H x darstellen, m. a. W. eine unendliche Dezimal- 
bruchentwickelung zolassen, wenn man eine Methode besasse, für 
jedes beliebige im dritten Falie befindliche n, entweder die Existenz 
eines im zweiten Falie befindlichen m n mit, der Eigenschaft, dass 
jede zwischen n und m liegende ganze Zahl sich im dritten Falie 
befande, ad absurdum zu führen, oder die Existenz eines im ersten 
Falie befindlichen m n mit der Eigenschaft, dass jede zwischen n 
und m liegende ganze Zahl sich im dritten Falie befande, ad absurdum 
zu führen. 
Wir definiëren wei ter ein Erganzungselement erster Ordnung r 
von H } mittels der unendlichen Reihe 
00 
^ a n . 10“ "- 1 , 
n = 1 
