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wo jedes a„ entweder gleich O oder gleich 9 ist, wahrend a, = 9 
und a„_g i dann and nar darm von a n verschieden ist, wenn n sicli 
irn zweiten Falie betindet. 
Dieses Erganzungselement erster Ordnung winde erst darm ein 
Erganzungselement zweiter Ordnung von H x darstellen, m. a. W. 
die irn § 3 definierte eindeutige nnendliehe Dezimalbruchentwickelung 
zolassen, wenn man eine Methode besasse, für jedes ganze positive 
n mit der Eigenschaft, dass entweder keine oder eine gerade Anzahl 
von ganzen positiven Zahlen < n sich irn zweiten Falie befmdet, 
entweder die Existenz oder die Abwesenheit eines irn zweiten Falie 
befindlichen m j> n ad absurdum zn ftihren. 
Ein Erganzungselement dritter Ordnung von H x wiirde dasselbe 
Erganzungselement erst dann darstellen, wenn man eine Methode 
besasse, für jedes ganze positive n mit der Eigenschaft, dass entweder 
keine oder eine gerade Anzahl von ganzen positiven Zahlen <_ n 
sich im zweiten Falie befmdet, entweder die Existenz eines im zweiten 
Falie betindiichen m j> n ad absurdum zu führen, oder eirr im 
zweiten Falie befindliches m n anzugeben. 
Wir definiëren schliesslich ein Erganzungselement dritter Ordnung 
r von H i mittels der unendlichen Reihe 
OO 
2 a n . 
n = i 
wo a n — 9, wenn n sich im zweiten Falie befmdet, sonst a„ — 0. 
Dieses Erganzungselement dritter Ordnung würde erst dann ein 
Erganzungselement vierter Ordnung von darstellen, wenn man 
eine Methode besasse, für jedes ganze positive n , entweder die Existenz 
eines im zweiten Falie befindlichen m n ad absurdum zu führen, 
oder ein im zweiten Falie befindliches in n anzugeben. 
Samtliche Beispiele dieses ^ tallen übrigens in H x zusammen mit 
Erganzungselementen vierter Ordnung der geordneten Menge der 
endlichen Dualbrüche H„. 
Für Beispiele reeller Zahlen ohne Dezimalbruchentwickelung be- 
steht bei der Weiterentwickelung der Mathematik stets die Möglich- 
keit, dass sie einmal hinfallig werden; dann abei’ können sie immer 
durch solche, welche ihre Gültigkeit behalten haben, ersetzt werden. 
