826 
In de volgende $$ zullen wij nagaan tot welke soort van A’s wij 
door deze beperking komen. 
$ 3. Meetkundige beteekenis en algebraïsche aanduiding van een 
der beschouwde soorten van dekoperaties. Zij in een R i met coördi- 
naten x l ,x',x* en x* = iet R 3 een willekeurige lineaire ruimte van 
drie dimensies. Wij noemen R z een symmetrie- ruimte’) 
(symbool r), wanneer door de daarmede correspondeerende dekope- 
ratie (symbool ;X, naam tijd-ruimte-spiegeling) uit een punt A 
(xd Xy* xd xd) een punt B {xd xd xd xd) ontstaat, dat meetkundig op 
de volgende wijze gevonden wordt. 
Laat uit A een loodlijn neer op r en zet de lengte van die lood- 
lijn aan de andere zijde van haar snijpunt met r af. Het eindpunt 
van het afgepaste stuk is het gezochte punt B. 
Wordt A gegeven door de lengte /, van de loodlijn uit den oor- 
sprong van R 4 op r en haar richtingscosinussen <fd > Vd > r fd en cpd, 
waarbij 
<p\* + <p\* + fpf 4 - <p\' = L ..... (1) 
dan is, voor n een der vier indices 1,2,3 en 4 substitueerend, 
x d = x \' + 2 <P” ( l i~ Vi' x d~Vi' x d—<Pi' x i*—(pd x d) • • ( 2 ) 
Brengt men in een driedimensionaal x l x 2 ^'-stelsel een vlak V 
door den oorsprong aan, waarvan de normaal richtingscosinussen 
heeft, die zich verhouden als < pd,(fd en cpd, dan bevinden de pun- 
ten A' en B ' , die in dit stelsel correspondeeren met A en B in het 
vierdimensionale stelsel, zich op dezelfde loodlijn op V, want x t n — x x n 
is voor de waarden n = 1,2 en 3 evenredig met ipg. 
Noemt men de afstanden van A' en B' tot V —y m met m — 1 
en 2 resp., dan is: 
en dus: 
<fid x m l 
ym = 
+ <Pd x m' + v / «,»* 
(3) 
y, = y, + 2 l/l -< (i,-|/l-< 
>• • • ( 4 ) 
x d = x d + 2 vd Oi— V 1— ep\* Vi—vd x d) ; 
Hieruit volgt, dat men den afstand van B' tot \ T en de nieuwe 
waarde van iet vindt uit de waarden dier grootheden voor de punt- 
gebeurtenis A, door in een tweedimensionaal y^ 4 -stelsel een lijn zoo- 
danig te trekken, dat de loodlijn uit den oorsprong daarop neerge- 
laten een lengte l x heeft en met de .r 4 -as een hoek maakt met cosinus 
gelijk aan cpd en het punt A" met coördinaten xd en y x in die lijn 
i) Deze naam is ook reeds gebruikt door P. H. Schoute, Verh. Kon. Ak. Amst. 
Eerste Sectie If 7 (1894) p. 16. 
