827 
te spiegelen tot B". De coördinaten van B' geven de nieuwe waar- 
den van den tijd en den nieuwen afstand tot V in de driedimen- 
sionale figuur. 
§ 4. Elke tijdruimte-dekoperatie van de beschouwde soort is op te 
vatten als een samengestelde dekoperatie van tijd-ruimte-spieg dingen. 
De A’s, dooi’ Schof.nflies on voorgangers beschouwd, spiegeling in 
. 2jt 2jt 2 jt 
een vlak en in een centrum, translatie, rotatie van — , — en 
2 Jt 
— , 2-, 3-, 4- en 6-tallige schroefbeweging, 2-, 3-, 4- en 6-tallige 
6 
draaispiegelingen en glijdspiegeling zijn alle op te vatten als samen- 
gestelde spiegelingen in één of meer vlakken. Dit brengt het lineair- 
orthogonaal karakter der substitutie mee, waardoor slechts congruente 
en symmetrische figuren denkbaar zijn. 
Om dezelfde reden moeten wij ook aannemen, dat elke denkbare 
tijdruimte-A van de beschouwde soort op te vatten is als een samen- 
gestelde spiegeling in een of meer symmetrieruimten. Dit geeft van- 
zelf den weg aan, waarlangs wij elk tijd-ruimte-sy mmetrie-element 
kunnen opsporen. 
$ 5. Algemeene formule voor de coördinaten van het punt B, dat 
door toepassing van een willekeurige der beschouwde samengestelde 
tijd-ruimte-dekoperaties ontstaat uit een punt A. 
Ic=m 
x m n = ■r t n + 2^{ xf—cpk' xf—cpp 1 x„ '—(fk* *0 \ r Pk n + 
Jc= 1 
l—m 
-t- 2 <pi n 
l=k + 1 
waarin (p, q ) voorstelt : 
— 2 (// <Pq l + df ( Pq * + <Pp' ( Pq l + <pf <PqA' enz. 
te nemen. 
((*. k) + 2 (/, p) (p, *) + 2 (/, p) (p, q) (q, k) +...j ] } . . (5) 
$ 6. Bij de afleiding van alle tijd-ruimte-dekoperaties behoeft men 
slechts de reeds opgesomde ruimte-dekoperaties, echter zonder de be- 
perking tot 2-, 3-, 4- of Q-talHgheid te combineeren met tijd-dekope- 
raties. De lineaire orthogonale substitutie, uitgedrukt door formule 
(5 N hebbe een coëfficienten-schema : 
i a i 1 a i i a « l ü 4 
i a \ 1° 1 i a i 1 Ü 4 S a 6 
8 a i t a i 3 a 4 I a 6 
