Wiskunde. — De Heer J. C. Kluyver biedt een mededeeling aan: 
„Over analytische functies, die door zekere reeksen van Lambert 
worden bepaald 
De definitie van de analytische functie werd door Weierstrass 
gegrond op zijne theorie der machtreeksen. Uit een gegeven analy- 
tische uitdrukking leiden wij een element der analytische functie af, 
d. i. een machtreeks convergeerende in een bepaalden cirkel, en 
door de voortzetting van dit element wordt een analytische functie 
gedefinieerd, die bestaat in het gebied, dat door de verzameling der 
con vergen tiecirkels wordt bedekt. Een zelfde analytische uitdrukking 
kan in verschillende gebieden verscheiden functies bepalen. Zoo zal 
bijv. de reeks van Tannery 
n—a o g2 n 
» = ° l _^ n+1 
Jc = cc z 
voor \e\ < 1 de analytische functie <p x (z) = 2 z h = voor- 
k= i 1 — z 
stellen, terwijl voor | z\ j> 1 dezelfde uitdrukking de analytische 
k = oo y 
functie cp t (z) = — 2 z~ k — — — bepaalt. Beide functies, ieder 
k — 1 Z 1 
bepaald in een afzonderlijk gebied, kunnen over het geheele vlak 
worden voortgezet, maar blijkbaar blijven zij overal geheel ver- 
schillend. Zoo volgt uit de algemeene theorie, dat het begrip der 
analytische functie niet samenvalt met dat der functionaliteit, zooals 
deze wordt aangegeven door een analytische uitdrukking, en het is 
juist deze grondgedachte, die zooals Borel herhaaldelijk heeft aan- 
getoond soms leidt tot gevolgtrekkingen, welke niet altijd in elk 
opzicht bevredigend zijn *)• 
Borel onderstelt, dat een gegeven analytische uitdrukking F (z) 
binnen een gesloten kromme C een functie cp 1 ( z ) bepaalt en buiten- 
dien een tweede functie cp t ( z ) in het gebied buiten C, waarbij dan 
de singulariteiten van deze functies op C overal dicht liggen, zoodat 
deze kromme voor beide functies een zoogenaamde natuurlijke grens 
vormt. Hij toont dan aan, dat de veeltermreeks, die (p x ( 2 ) voorstelt, 
onder zekere voorwaarden blijft convergeeren, absoluut en uniform, 
x ) LeQons sur les Fonctions monogènes uniformes d’une variabie complexe. 
Chap. III. 
