1173 
wanneer de veranderlijke z langs zekere stralen de grenslijn C 
overschrijdt. Anders uitgedrukt, het gebeurt, dal men de waarde 
eener analytische uitdrukking, die aanvankelijk samenviel met die 
van de functie (p 1 (z) doorloopend kan doen overgaan in de waarde 
van de functie (2) en deze mogelijkheid schijnt min of meer in 
tegenspraak met de theorie, volgens welke de functies (p x (2) en (p 2 (2) 
zonder eenigen samenhang zijn. 
Ik stel mij voor hier twee eenvoudige voorbeelden te behandelen, 
waarin de vervorming van rp^z) in een veeltermreeks niet noodig 
is, en die toch, zooals ik geloof, een inzicht kunnen geven in de 
strekking van Borel’s opmerkingen. 
Laat de gegeven analytische uitdrukking zijn de reeks van Lambert 
F(*) = 
n = oo | 
^ — 
n—\n s 
z n 
1 —t 
waarin de exponent s bestaanbaar kan worden ondersteld. 
Blijkbaar kan men voor alle waarden van s de reeks F(e) ont- 
wikkelen in een machtreeks van 2, en daar voor \z\ <j 1 
1 z n 
n s 1 — z n 
<— M n 
zal F(s) binnen den cirkel C met straal één een analytische functie 
(p x {z) bepalen. Indien echter sj>l, kan men ook schrijven 
en uit F(s) kan ook een machtreeks in — worden afgeleid, d.i. een 
2 
tweede analytische functie <p t (z), die bestaat in het gebied buiten C. 
De functies ( pi{z) en <p,(z), die in verschillende gebieden door 
dezelfde analytische uitdrukking worden weergegeven, zijn verbonden 
door de betrekking 
(z) d - (p, ^ — S («)* ( ! z I ^ ) 
maar de voorname vraag is, of een van beide al of niet is een 
analytische voortzetting van de andere. Een beslissing kan men 
gronden op een vervorming van F(2). In overeenkomst met de rationale 
getallen — van het interval ( 0 , 1 ) kan men de zoogenaamde rationale 
2m ?- 
q op den cirkel 0 in een bepaalde volgorde (a„) 
punten a n = e 
