1174 
rangschikken, en als men noemt q den noemer van de brenk, die 
overeenkomt met a n , blijkt het, dat men heeft 
F (*) = — 1 
n=l9*+ 1 ’ 2— a n ' 
Deze reeks van breuken stelt <p x [z) voor, als \z\ <j 1 , s 0 , 
daarentegen is de reeks gelijk aan < p^z ), zoodra \z\ j> i en tevens 
s 1. Men kan nu toepassen een stelling van Goürsat x ) en besluiten, 
dat de punten a n zonder uitzondering singulier zijn voor de beide 
functies <p x (z) en <p,(z). Daar deze punten op C overal dicht liggen, 
is voor ieder der functies de voortzetting over den cirkel heen uit- 
gesloten 2 3 * ). 
Door toepassing van de sommatieformule van Eulek kan men de 
waarden berekenen, die de functies g> x {z) en (p t (z) aannemen, als z 
langs den straal een der singuliere punten nadert. Op deze wijze 
vind ik in de eerste plaats, als z een positieve waarde x 1 heeft, 
de volgende asymptotische uitdrukking voor ( p x {z ) 
»>,(*)= -ly - 5 <* + !) + C log ïT 1 r ’ (l ~ s) SC-*) - 1 5« + 
log- 
X 
B, 1 B./ IV B./ IV 
+ 2ylog-.5(-l)- ï f(log-J 5 0-3) + ëf (‘og ^ J ï(s - 5) — - 
die geldig is voor alle niet-geheele waarden van s. 
De uitkomst is minder eenvoudig, als z langs den straal zich 
27 n — 
beweegt naar het punt e q = e l P. Stellende z = pe'/ s , vind ik voor 
p <j 1 en weder aannemende, dat s niet geheel is ') 
b Bulletin des Sciences Math., t. XI, p. 109. Sur les fonctions a espaces lacunaires. 
ii = co z n 
2 ) Dit volgt ook uit een der stellingen betreffende de reeks X b„ , 
n = i \—z n 
vermeld in een vorige mededeeling (Verslagen en Mededeelingen., XXVIII. blz. 269) 
volgens welke de voortzetting van de functie over den cirkel heen is uitgesloten, 
zoodra men heeft b„ > 0 en Lim b„ = 0. 
n r= oo 
3 ) Voor geheele waarden van s verkrijgt men de uitkomst door s tot de ge- 
heele limiet te laten naderen. Zoo vindt men bijv., als s tot nul nadert 
<pi («0 — 
log log - 
x 
1 
log- 
X 
+ 4 - 
Bi* . 1 
2T2T ~x 
B.’ 
4.4! 
1 
en 
