1177 
> 
Mn/* 
waarin M is een eindig getal onafhankelijk van n en alleen afhan- 
gende van de coëfficiënten der vergelijking, waarvan £ een wortel is. 
Op deze wijze besluit men, dat 
4 
1 
1 
z n 
> 
Mn ?- 1 
en dat men bijgevolg voor alle waarden van 9 = \z\ heeft 
als cos 2 sr n| 0, 
1 
Z n 
< 
1 
n s 
1 — z n 
1 
n s 
1 
z n 
< 
M 1 
n s 
1 z n 
4 n * — ‘ m ~H 
als cos 2 7 t n£ 0. 
Daarom zal de reeks van Lambf.rt F (2) zoodra s p> ft absoluut 
convergeeren op den straal van het punt e 2n 't en de convergentie 
zal zijn onafhankelijk van q en gelijkmatig op ieder stuk van den 
straal. Onderstellende, dat z zich continu beweegt langs dien straal, 
zal de waarde van de analytische uitdrukking F [z), die voor 
gelijk is aan die van de functie cp x (z), eveneens continu overgaan 
in de waarde van de functie </>, (z), zoodra q grooter dan één wordt. 
Buitendien als s voldoende boven het getal f 1 wordt genomen, bijv. 
als men neemt s 2 ft — i, zal de reeks verkregen door terms- 
gewijze de reeks F (z) ten opzichte van g te differentieeren geheel 
d(p x (z) drpJz) 
op dezelfde wijze de waarde van — ; — of die van — - — aangeven, 
dz dz 
naargelang de waarde van g is gekozen. In dezen gedachtengang 
kan men aan de functies (p x (z) en cp t (z) een gemeenschappelijke 
bepaalde waarde toekennen in het punt e 2ni %, ofschoon blijkbaar dit 
punt geen gewoon punt is. Als men <p x (e 2 ™^) en <p t [e 2 ^) beide gelijk 
neemt aan de eindige limiet Lim F (ge 2 ™*), verkrijgt men 
9 , («“"O = f, (« 2 -0 = -15(«) + j "s" 
2 n—j n* 
en de reeks 2’ co * j 717 ^ za j ze ] cer convergeeren, zoo slechts s g. 
n — 1 
Derhalve is een zekere samenhang aangetoond tusschen de functies 
rp x (z) en <p,{z), die men volgens de theorie van Weierstkass moet 
beschouwen als geheel verschillend en zonder eenig verband. Inder- 
daad in dit zeer bijzondere geval is gebleken, dat terwijl de klassieke 
voortzetting met behulp van machtreeksen onmogelijk is, een nieuw 
soort van voortzetting zoo volledig als men zou kunnen wenschen, 
geleverd wordt door de reeks van Lambert langs de stralen van 
een aftelbare oneindige verzameling. 
