1179 
verzameling der punten e 2n{ % niet op den cirkel overal dicht zal zijn. 
Volgens de bekende eigenschappen der kettingbreuken heeft men, 
T„ 
als k is een willekeurig geheel, — de n-de naderende breuk 
-N n 
jj Tn ^ Tn-)-2 Tn 
Nn > Njï-j-2 _ Nn 
a ”+ 2 \ ^ \ \ \ 1 
N ;i (a^N^-j-i -f N„) 2N„ N, i-i-i 2(a, i _)_i -(- l)N n * 2(^d-l)N,i 2 
en daar N„ blijkbaar altijd kleiner is dan (/— J— 1 ) n , kan men schrijven 
^2(/ + l) 2 ”+ï‘ 
Wanneer men nu het geheele getal k bepaalt door de voorwaarde 
|n§ — k \ 4 en stelt z = Qe 2 ^, verkrijgt men door dezelfde rede- 
neering als te voren 
1 
z n 
-1 >1 
, als 
COS 2 nn± 0, 
1 
k 
2 n 
z n 
— 1 > 4n 
Ê-- 
n 
, als 
COS 2 Jtn% j> 0, 
en 
dientengevolge 
1 
z" 
1 
— 
1—2" 
, als 
cos 2 jt nl 0, 
n\ 
n\ 
1 
Z n 
(Z + l)2, !+ l 
, als 
COS 2 JT 0. 
n\ 
1 — Z n 
< 
2 n . n\ 
De reeks G(^) zal dus absoluut convergeeren op den straal van 
het punt e 2n 'ï en de convergentie zal uniform zijn op elk stuk van 
dien straal. 
Daarmede is dus aangetoond, dat in dit geval de functies 1 ^,( 2 ) 
en ty t {z) samenhangen in alle punten van een verzameling van de 
macht c, en dat langs de stralen dezer punten de reeks van Lambert 
een onberispelijke voortzetting levert, terwijl de analytische voort- 
zetting noodzakelijkerwijze moet ontbreken 1 ). 
De elementaire voorbeelden, die ik behandelde, doen evengoed als 
de voorbeelden van Borel uitkomen, dat men somtijds er toe geleid 
wordt om een groep van analytische functies, die in verschillende 
gebieden bestaan, als een enkele functie te beschouwen. En gelet 
J ) Daar voor alle s, zoo n slechts groot genoeg is, — — is, kan men er zeker 
n\ n s 
van zijn, dat de reeks G{z) ook de voortzetting bewerkt langs de stralen der alge- 
braïsche punten van elke orde. 
n 
