1267 
is aan de identiteit. Men zal daarvoor zelfs soms het voordeel van 
een zoo klein mogelijk aantal voortbrengende operaties opofferen. 
Aan den anderen kant zal het goed zijn, als voortbrengende 
operaties zoo mogelijk equivalente operaties van de groep te kiezen, 
zooals uit het volgende blijkt. De oktaedergroep van Schoenflies kan 
bijv. zoowel voorgesteld worden door {2l 4 , 21' 4 } 1 ) als door {21,, 2l 4 j. 
Voegt men bij de operaties in elke combinatie 20^ en , dan vindt 
men bij de tweede notatie 9, bij de eerste 6 groepen, daar natuurlijk 
KI en {2l 4 ,2QV2l' 4 j, evenzoo {SD?,^, 2l' 4 } en { 21 4 , 5m,50?,21' 4 } 
en ook {201^21,, 291,501,21^ } en { 291,5)91, 21 4 , 591,21^ ) equivalente groepen 
zijn. De eerste notatie verdient dus de voorkeur. 
De beide desiderata omtrent de keuze van de voortbrengende 
operaties zijn nu gewoonlijk niet tegelijk te vervullen. Dan is het 
gewenscht, beide afzonderlijk te vervullen en de beide notaties naast 
elkaar te beschouwen. 
Alle puntgroepen (waaronder dus de 32 betreffende klassen van 
Schoenflies) zijn dan begrepen in het voorafgaande schema van 14 
soorten van groepen, voor sommige waarvan 2 notaties zijn aan- 
gegeven. (Zie tabel p. 1266). 
§ 8. Onderzoek naar equivalente onder de te vinden groepen. Er 
kunnen hiervoor slechts eenige aanwijzingen gegeven worden, die 
tezamen met het ontwerpen van een tiguur of het uitschrijven van 
de niet-equivalente operaties van de groep (de beide laatste manieren 
zijn in de meeste gevallen overbodig) in ieder geval voldoende zijn. 
Wij zullen de bedoelde aanwijzingen ter illustratie meteen toe- 
passen op een der groepen G en kiezen daarvoor {21,, 21',}. 
Wij moeten de notaties, waaronder een groep te voorschijn komt 
alle tot één zien terug te brengen. Kunnen wij dus een aan een 
der voortbrengende operaties toegevoegde 50?, 50?, terugbrengen tot $0? 
of zelfs tot de identiteit, dan doen wij het ook. Voorbeeld : 
{50ï,2l„ 5331,201,21',}. In de eerste plaats kunnen wij zonder verlies van 
algemeenheid 201,201, vervangen door 5331,50?, (men verzuime deze 
bewerking nooit). Nu is verder (201, 21,)* = 50?, een operatie van de 
groep. Beschouwen wij dus 201, en 21, ieder apart als voortbrengende 
operaties van de groep, dan hebben wij reeds eenigszins aan het 
voorschrift voldaan. Wij kunnen er echter nog verder aan voldoen. 
Want nu 50?, voortbrengende operatie geworden is, mogen wij de 
voortbrengende operatie 50?,50?. 1 2i', ter voldoening aan het voorschrift 
vervangen door 201,21',. Daar dan echter (50?, 21',)* = 201, ook een 
!) In het volgende beteekent $l„ een draaiing van 1 /« cirkelomtrek, 3 een 
spiegeling in een vlak, SI„ een draaispiegeling. 
