Wiskunde.  — De  Heer  L.  PI  .).  HKorni'.K  bieilt  een  mededeeling 
aan:  ,, Opmerking  over  de  vlakke  translatiesteUing'k 
De  door  mij  in  Deel  XVIII  van  deze  Verslagen  (|).  117)  nitge- 
sproken  en  in  Band  72  van  de  Mathematische  Annalen  (p.  37 — 54) 
voor  het  eei'st  volledig  bewezen  Inidl  als  volgt : 
Een  éénéénduidige  continue  transformatie  van  het  Cartesische  vlak 
r in  zichzelf  met  invariante  indicatrix,  doch  zonder  invariant  punt, 
is  over  hel  geheel e vlak  een  translatie. 
Hiermee  wordt  bedoeld,  dat  elk  [nint  van  r is  gelegen  in  een 
translatieveld,  d.  w.  z.  in  een  gebied,  dat  buiten  zijn  beeldgebied  ligt 
en  begrensd  wordt  door  twee  elkaar  niet  ontmoetende  enkelvoudige 
open  lijnen,  waarvan  de  eene  het  beeld  van  de  andere  is. 
Zij  t de  gegeven  transformatie,  J'  een  bij  haar  behoorend  trans- 
latieveld, ,fE  voor  ieder  positief  of  negatief  geheel  gelalw  inclusief  0 
het  beeld  van  T voor  de  transformatie  t’‘.  De  pnntverzameling 
= kan  op  zoodanige  wijze  éénééndnidig  en  continu  op 
een  Cartesisch  vlak  C afgebeeld  worden,  dat  daarbij  de  transformatie 
t van  T'  wordt  afgebeeld  op  een  translatie  van  C.  Indien  dus  T 
zoo  kan  worden  gekozen,  dai  T'  het  geheele  vlak  F vult,  kan  F op 
zoodanige  wijze  éénéénduidig  en  continu  op  een  Cartesisch  vlak  C ge- 
heeld worden,  dat  daarbij  de  trams  formatie  t van  F loordt  afgebeeld 
op  een  translatie  van  C. 
De  vraag  of  een  dergelijke  keuze  van  T voor  elke  tran.sformatie  t 
mogelijk  is,  moet  echter  in  ontkennenden  zin  beantwoord  }twrde)i,  zooCi'è 
ik  in  de  noot  op  [).  37  van  het  aangehaalde  opstel  der  Mathe- 
matische Annalen  reeds  heb  aangednid,  en  zooals  nit  het  volgende 
voorbeeld  blijkt: 
We  brengen  in  F een  Euclidische  maatbepaling  en  in  ovei’een- 
stemming  daarmee  een  rechthoekig  Cartesisch  assenstelsel  aan.  De 
door  dit  assenstelsel  bepaalde  lijnen  g = I en  g = — 1 verdeelen  F 
in  drie  gebieden  g^  (y  j>  1),  //,  (1  j>  g j>  — 1)  en  ƒ/„  (?/  O — J).  We 
vidlen  //i  en  ƒ/,  elk  op  met  een  bundel  van  lijnen  g — c en  g.^  met 
een  bundel  \an  lijnen  <f  = - — ^ . Deze  drie  bundels  vormen  te- 
'1  -j-.r — c 
zamen  met  de  lijnen  // = i en  g—  — J een  F geheel  overdekken- 
den  bundel  d elkaar  niet  snijdende  enkelvoudige  0})en  lijnen. 
