848 
A eii  73,  (wee  reeliteii  t ontmoet,  ')  dus  in  A twee  punten  met  (if)'* 
gemeen  heeft,  moet  A,  en  dan  ook  /J,  een  (lubbe/punt  van  het  regel- 
vlak  wezen. 
De  kromme  zendt  zes  raaklijnen  door  A;  dus  bevat  (/)“  zes 
dnbbelstralen  t — t'  der  involntie 
De  transversalen  der  stralenparen  a,  b vormen  een  quadratischen 
stralencomplex ; immers,  in  een  willekeurig  vlak  l)epalen  (a)  en  [b) 
twee  projectie\e  puntenreeksen,  en  de  verbindingslijnen  van  over- 
eenkomstige piniten  omhullen  een  kegelsnede.  Deze  complex  heeft 
vier  stralen  gemeen  met  de  tweede  op  gelegen  regelschaar  (y)^; 
elk  dier  stralen  rust  op  twee  overeenkomstige  stralen  a,  b,  en  tevens 
op  de  daaraan  toegevoegde  stralen  c,  c' . Het  regelvlak  (t)"  heeft  dus 
vier  rechten  gemeen  met  de  lqy[)erboloïde  T'k 
§ 2.  Laat  men  t den  waaier  [7\r)  beschrijven,  dan  valt  het 
regelvlak  {ty  uiteen  in  dien  waaier  {t)  en  een  i'egelvlak  (/')L  Dc 
transformatie  {t,  t')  zet  das  een  aHxaier  om,  in  een  repe/sclniar  van 
den  vijfden  graad. 
Van  de  beide  dekpunten  der  op  ad  gelegen  projectieve  punten- 
reeksen ligt  nu  hel  eene  in  adr-,  dooi-  het  andere  gaat  een  straal 
t' . In  a (en  in  d)  kggen  dus  weer  twee  stralen  t' . De  restdoorsnede 
van  {t'y  met  a is  een  nodale  (V^ , met  dubbelpunt  in  H.  Elk  snijpunt 
van  met  t is  doorgang  van  een  straal  t' , die  met  den  overeen- 
komstigen  straal  t is  samengevallen.  De  dnbbelstralen  der  involntie 
it,  t')  vormen  dus  een  Jadnscken  complex. 
Dit  laatste  kan  als  volgt  worden  bevestigd.  Met  F^  heeft  {t'y 
vier  stralen  y gemeen  1)  en  verder  een  ruimtekromme  y".  In  een 
snijpunt  C van  y"  met  t wordt  een  straal  t gesneden  door  den 
overeenkomstigen  straal  t';  dus  ligt  6'  op  een  dubbelstraal /'  i /,  en 
de  tweede  op  dien  dubbelstraal  rustende  rechte  van  {cf  ontmoet  t 
it!  een  punt  C' , dat  ook  op  y"  moet  liggen.  De  zes  doorgangen 
van  y"  liggen  dus  in  paren  op  drie  tot  (7,  t)  behoorende  dnbbelstralen. 
§ 3.  Een  straal  tA  door  A wordt  gesneden  door  een  straal  b en 
door  twee  stralen  c,c'  van  (c)L  Elke  rechte  t' , die  b,c  en  c' snijdt, 
ontmoet  op  a een  Itepaalden  straal  a,  is  dus  toegewezen  aan  Li; 
derhalve  is  de  straal  tA  singulier. 
Het  raakvlak  in  A aan  de  hyperboloïde  {bcc')  snijdt  (k  volgens 
een  rechte  a,  welke  [bcc')  aanraakt.  De  transversalen  der  vier 
stralen  a,  b,  c,  c'  vallen  dus  samen.  Elke  straal  Ia  is  dus  ook  als 
dubbelstraal  te  beschouwen;  de  kubische  complex  der  dnbbelstralen 
Zij  liggen  in  de  dekvlakken  (coïncidenties)  der  projectieve  vlakkenbundels,  die 
(a)  en  (b)  uit  AB  projecteeren 
