844 
beeft  dus  in  .1  en  !>  hoofdpunten  e\\,  Vi\\ü\oog,  \\\  a e\\  d h.oofdvlakken. 
Uit  liet  l)0\'enstaande  volgt,  dat  de  sterren  A en  B,  benevens  de 
velden  k en  j'?,  uit  dnyiiUere  stralen  der  inrol utie  [t,  t')  bestaan. 
Een  straal  b bepaalt  met  .1  een  waaier  (Ui)  en  daardoor  tevens 
een  quadratiselie  involutie  B in  de  regelsebaar  (6‘)\  Zij  nu  in  bet 
vlak  ).  een  waaier  (/)  met  lop  L gegeven.  Aan  elk  punt  van 
wordt,  door  middel  van  /k  op  de  kegelsnede  ( F"  A)  een  involntie 
bepaald.  Door  L gaat  dns  een  straal /,  die  de  doorgangen  verbindt 
van  twee  stralen  c,  c' , welke  met  h een  transversaal  Ia  bepalen. 
Wordt  deze  straal  I toegewezen  aan  den  straal  l' , die  b snijdt,  dan 
ontstaat  in  (/)  een  i)rojectiviteit.  Elke  der  beide  dekstralen  is  dan 
een  straal  t' , die  aan  een  straal  tx  is  toegewezen.  Hieruit  volgt  dat 
de  qnadratisehe  regelscbaren  (k)k  die  aan  de  singuliere  stralen  tA 
zijn  toegevoegd,  een  (luadratisclien  stralencomplex  vormen. 
Drie  andere  quadratische  complexen  \t' \‘'  bebooren  bij  de  ster 
IUj]  en  de  stralenvelden  [k]  en 
De  waaier  (7’,  t)  bevat  xan  eiken  dezer  complexen  twee  stralen; 
in  verband  biermede  dragen  H,7>,  f(en/i  ieder  twee  stralen  t'  van 
bet  regelvlak  [t'Y , waarin  (/)  door  de  involntie  [t,  t')  wordt  omgezet. 
Hierdoor  blijkt  opnieuw,  dat  {t'Y  dubbelpunten  in  A,  B,  dubbel- 
raakvlakken  in  a,  d beeft. 
De  straal  A B snijdt  twee  bepaalde  stralen  c,  c' , maar  a//ö  stralen 
a en  b.  Aan  i^A  B zijn  dns  toegewezen  alle  stralen  der  bilineaiie 
congruentie,  welke  c en  c'  tot  ricbtlijnen  beeft  k-  Analoog  is  f = « /? 
toegevoegd  aan  oo^  stralen  t' . De  involntie  {t,  t')  bezit  dns  Uoee 
hoo  fdstralen,  A B en  « /?. 
^ 4.  Ook  de  recbten  der  legelscbaar  (y)’  zijn  hoofdstralen,  want 
een  recbte  y snijdt  twee  be[)aalde  stralen  a en  h,  maar  alle  stralen 
c ; elke  transversaal  t'  van  a en  b rust  op  twee  stralen  c,  is  dns 
aan  tzry  y toegevoegd. 
De  involntie  {t,  t')  beeft  nog  andere  singuliere  stralen.  Wanneer 
bet  snijpunt  S van  twee  stralen  a en  c gelegen  is  in  bet  vlak  o 
door  twee  stralen  b en  c' , dan  bestaat  de  waaier  (>S,  o)  nir  stralen 
s,  die  aan  elkaar  zijn  toegewezen,  dns  uit  singuliere  stralen.  Nu 
wordt  een  vlak  o in  twee  punten  S gesneden  dooi'  de  kegelsnede 
(C,  welke  F met  a gemeen  beeft.  Elk  raakvlak  van  F bevat  dns 
twee  waaiers  (s). 
In  een  willekeurig  vlak  liggen  twee  punten  S,  dns  twee  stralen 
.9;  door  een  willekeurig  punt  gaan  twee  x lakken  <7,  dns  vier  stralen 
b De  aan  AB  locge voegde  congruentie  [/']  behoort  tot  de  door.snede  der  aan 
de  sterren  \tA]  en  [tu]  toegewezen  complexen. 
