845 
s.  Daar  men  een  tweede  stelsel  van  singuliere  sli'alen  vindt  als  men 
in  de  bovenstaande  beselionwing  a met  b verwisselt,  vormen  de 
lonaiers  van  singuliere  stralen  tmee  congruenties  (4,  2). 
De  toppen  der  waaiers  (s)  liggen  op  de  kegelsneden  en 
hun  vlakken  omlinllen  de  hyperboloïde  r^. 
^ 5.  Om  tot  een  andere  involutie  in  de  sti'alenrnimle  Ie  geraken, 
beschouw  ik  twee  qnadratisehe  regelscharen  (c)’  en  {df,  gelegen  op 
de  lijperboloïden  en  Ak  Elke  twee  stralen  c,  c'  bepalen  met 
elke  twee  stralen  d,  d'  een  paar  transversalen  t,  t' , en  deze  vormen 
een  paar  van  de  bedoelde  involutie. 
Ik  ondei'stel  nu,  dat  o[)  n een  involutie  (e,  c')  is  gegeven,  die  op 
eeuige  wijs  projectief  overeenkomt  met  een  0|)  gegeven  involutie 
{d,  d'). 
De  transversaleji  der  paren  d,  d'  vormen  een  liiieairen  stralen- 
complex;  immers  in  eeti  vlak  I bepalen  de  doorgangen  D,  D'  dier 
paren  een  involutie  op  den  doorgang  van  A’  en  de  dragers  der 
punten[>areu  D,  D'  vormen  dus  een  waaier.  Deze  complex  be\at 
twee  rechten  1 van  de  tweede  op  gelegen  regelschaar.  Er  zijn 
dus  twee  transversalen  t van  paren  d,  d' , die  op  alle  rechten  c 
rusten.  Op  een  willekeurige  rechte  c lusten  verder  de  beide  trans- 
versale]) van  de  paren  in  (c)^  en  {df,  die  door  c zijn  bepaald.  Dus 
vormen  de  traiisvei’salen  t,  t'  dei'  paren  c,  c'  en  d,  d'  een  regelvlak 
van  den  vierden  graad. 
Blijkbaar  bevat  (ty  ook  twee  stralen  der  regelschaar  (d)’  van  Ak 
§ 6.  Met  de  stralen  t van  een  maaier  {T,r)  komt  óiws  een  regelvlak 
[t'Y  overeen,  dat  twee  rechten  y en  twee  rechten  d bevat.  Het  snijdt 
de  doorsnede  van  en  A^  in  ]2  punten,  waai-van  8 op  de 
zooeven  genoemde  vier  i-echten  liggen;  de  overige  viei'  dragen  ieder 
een  straal  c en  een  straal  (/,  die  t in  twee  met  7' collineair  gelegen 
punten  snijden. 
Dit  kan  als  volgt  worden  bevestigd.  Door  elk  punt  van  p'*  gaat 
een  rechte  c en  een  rechte  d.  Hun  doorgangen  C en  D op  het 
vlak  T bepalen  op  de  doorgangen  y'^  en  rP  van  F’  en  A’  twee  punten- 
reeksen  in  verwantschap  (2,2).  Dus  zijn  de  rechten  TC  en  T D 
aan . elkaar  toegevoegd  in  een  verwantschap  (4,  4) ; van  de  8 dek- 
stralen  gaan  4 naai'  de  snijpunten  van  y’  met  d'-* ; de  andere  4 
snijden  elk  een  paai'  c,  d,  waarvan  het  snijpunt  op  p'*  ligt,  dus  een 
straal  t'  draagt,  die  aan  een  straal  t is  toegewezen. 
Het  regelvlak  [t'y  heeft  met  behalve  de  reeds  genoemde  twee 
rechten  y,  een  ruimtekromme  y'*  gemeen.  Deze  snijdt  t in  4 punten, 
die  paarsgewijs  met  T (‘ollineair  liggen  2).  Hieruit  blijkt,  dat  de 
dubbelstralen  der  involutie  (t,  t')  een  quadratischen  complex  vormen. 
55 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVll.  A”.  1918/19. 
