847 
a nog  dooi'  twee  transversalen  t,  t'  wordt  gesneden,  is  hef  reyelvldk 
{t)  van  den  vierden  c/raad. 
De  kromme  (d,  welke  {t)*  nog  met  a gemeen  lieeft,  zendt  vier 
raaklijnen  door  A ; op  (0^  liggen  dns  vier  dndbelstralen  der 
involutie  {t,  t'). 
Laat  men  t een  waaier  ( 7’,  t)  beschrijven,  dan  valt  (t)*  uiteen  in 
(if)  en  een  knbische  regelscliaar  {t'Y.  Ook  nii  bevat  a een  der  stralen 
t' ■,  de  doorgangen  der  overige  rechten  t'  vormen  een  kegelsnede 
cd,  die  door  A gaat  en  t op  de  dnbbelstralen  ontmoet,  welke  tot 
den  waaier  beliooren. 
De  did)hehtralen  der  involutie  (/,  t')  vormen  dns  een  qnadratiscken 
complex. 
§ 9.  Zij  (Ie  de  straal  van  (.d,  «),  die  door  de  enkelvoudige  richtlijn 
e van  (c)'  wordt  gesneden.  Elke  i'echte  t' , die  op  Ue  rust,  is  in  {i,  t') 
aan  e toegevoegd.  Met  de  rechte  ^ komen  dus  overeen  alle  stralen 
van  een  specialen  lineairen  complex. 
Analoog  is  de  dubbelrechte  d van  (c)'  toegevoegd  aan  alle  stralen 
van  den  specialen  lineairen  complex,  die  den  0|)  d i'ustenden  straal 
aj  tot  as  heeft. 
Ook  in  deze  involutie  t')  zijn  de  straten  Ia  door  A singulier 
en  ieder  toegevoegd  aan  de  stralen  van  een  regelscliaar,  welke  di'ie 
rechten  c tot  richtlijnen  heeft,  en  de  rechten  d en  e zal  bevatten. 
Analoog  zijn  de  stralen  4,  in  het  vlak  «,  singulier,  en  ieder  toe- 
gevoegd aan  de  stialen  van  een  regelscliaar,  waartoe  (/ en  c beliooren. 
Beschouwen  wij  nu  het  stelsel  der  hyperboloïden  [H]  die  ieder 
door  drie  rechten  c zijn  bepaald.  De  exemplaren,  welke  door  een 
punt  P gaan,  rangschikken  de  rechten  c in  de  groepen  van  een 
knbische  involutie  van  den  tweeden  rang.  De  involuties  /%,  die 
aldus  bij  de  punten  P,  P',  P ' beliooren,  hebben  een  groe|)  gemeen  ; 
derhalve  vormen  de  hyperboloïden  H een  /ca’.  De  hyperboloïden, 
die  bij  de  stralen  Li  beliooren,  dus  door  A gaan,  zijn  dan  tot  een 
net  vereenigd,  waarvan  alle  exemplaren  de  rechten  d,  e en  de 
transversaal  L 0''er  d,  e gemeen  hebben.  Door  een  punt  P 
gaan  dus  de  exemplaren  van  een  bundel,  en  deze  hebben  nog  de 
transversaal  door  P over  d,  e gemeen ; de  rechten  t'  door  P,  toe- 
gevoegd aan  stralen  der  ster  [4],  vormen  dns  een  waaier  in  het 
vlak  [P  td- 
^ 10.  Er  zijn  nog  andere  singuliere  stralen.  Elk  vlak  c door  e 
bevat  twee  rechten  c.  In  e ligt  een  waaier  van  stralen  t,  die  tot 
top  heeft  het  snijpunt  E van  e met  den  straal  Ue;  deze  stralen  zijn 
singulier,  omdat  zij  in  E op  een  derde  rechte  c rusten,  dus  alle 
met  elkaar  overeenkomen. 
55* 
