949 
Verder  gaan  de  beide  kroininon  dooi'  de  (4/i — 7)  unlpiinten  der 
rechte  PQ.  Elk  der  overige  öiiijoiiiiteii  is  een  punt  D,  waarvoor  d 
door  P,  d'  door  Q gaat.  Anders  gezegd,  als  d oin  l*  wentelt,  zal 
d'  een  kromme  van  de  klasse  (lOa^ — 32a-l-26)  omlinllen,  Tot  de 
rechten  d' , die  doör  P gaan,  behooren  de  raaklijnen  dei-  ()'\  die  in 
P liaar  dubbelpunt  heeft.  Elke  der  overige  (lOn^ — 32/i-l-24)  rechten 
d'  valt  blijkbaar  met  een  straal  d samen,  bevat  dus  een  nulpunt 
D,  waarvoor  de  beide  nulslralen  zijn  samengevallen.  Wanneer  zulk 
een  rechte  een  (hd)hele  nulstraal  wordt  genoemd,  dan  \olgt  uit  het 
bovetistaaiide,  dat  de  dubbele  imlstraleu  een  kronune  van  de  klasse 
2('/i — 2)(5?i — 6)  onikidlen  *). 
4.  De  nulstralen  d,  die  een  nulpunt  ü op  de  rechte  p hebben, 
ondiullen  een  kromme  [p)  van  de  klasse  (4« — 5),  die  p tot  (4?i— 7) 
voudige  raaklijn  heeft.  Zij  snijdt  p dus  in  (4/i — 5)  (4?i — 6)  — 
(4yi — 7)(4yt — 6)  [)unten,  die  elk  twee  samengevallen  nuisiralen  dragen. 
De  meetkundige  plaats  der  punten  C,  die  een  dubbelen  nulstraal 
dragen,  is  dus  van  den  graad  4(2/y — 3). 
De  kromme  (6')  is  blijkbaar  de  meetkundige  [ylaals  der  keei-punten 
van  den  complex.  Daar  de  graad  van  (C)  ook  langs  anderen  weg 
kan  worden  bepaald,  blijkt  nu  tevens  dat  de  kromme  (p)  geen 
andere  veelvoudige  raaklijnen  bezit. 
5.  Het  geval  = 2 verdient  een  afzonderlijke  behandeling.  Voor- 
eei-st  heeft  elke  rechte  d thans  slechts  een  nulpunt;  dit  is  het  dubbel- 
punt der  kegelsnede,  welke  door  drie  punten  van  d wordt  aangewezen. 
De  meetkundige  plaats  {C)  is  nu  van  den  vierden  graad  en  bestaat 
uit  vier  rechten  Ck.  Immers,  ais  de  beide  rechten  van  een  nodale  d 
samenvallen,  is  Ck  een  dubbelrechte.  De  complex  bevat  dus  vier 
dubbelr echten,  en  deze  zijn  tevens  singuliere  nidsti-alen. 
De  hoekpunten  Si-i  der  dooi'  hen  gevormde  volledige  vierzijde  zijn 
de  singuliere  punten  \'an  het  nulstelsel. 
De  krommen  (/;),  en  (q)^,  zie  § 4,  hebben,  behalve  de  nulstralen 
van  het  punt  piq,  zeven  raaklijnen  gemeen,  die  iedei'  een  nulpunt  op 
p en  een  nulpunt  op  q hebben,  óns  singuliere  nidstra.len  zijn.  Hiertoe 
behooren  de  vier  rechten  c/,..  Elke  der  overige  drie  singuliere  nul- 
stralen s'  moet  tot  00*  nodale  kegelsneden  behooren.  Nu  draagt 
als  singulier  punt,  oo*  lijnenparen,  die  een  slraleninvolutie  vormen; 
1)  Anders  gezegd;  de  keerpuntsraaklynen  der  cuspidale  krommen  van  een  com- 
pléx  omhullen  een  kromme  van  de  klasse  2 [n — 2)  {b  n — 6).  !n  mijn  mededeelmg 
over  kenmerkende  getallen  van  een  complex  (Versl.  deel  XXlll,  bl.  9Ü7,  § 13),  is 
bij  de  bepaling  van  de  klasse  de  invloed  der  kritische  punten  over  het  hoofd  gezien. 
