950 
dus  helioort  tot  twee,  en  ilaii  tot  oo\  lijnenparen,  en  moet 
derliahe  siiigidier  /djo.  De  tliagoïiuleii  der  vierzijde,  welke  door  de 
vier  rechten  c vvoi'dt  gevormd,  zijn  bijgevolg  de  gezochte  drie  singu- 
liere nulstralen. 
6.  Als  de  complex  een  basispunt  B heeft,  dan  is  dit  tevens 
singulier  nul[)unt,  want  twee  punten  op  een  straal  door  B bepalen 
een  nodale  met  dubbelpunt  in  B.  De  dnbbelstralen  der  involutie 
gevormd  door  de  d'-*  met  dnbbel[)unt  B zijn  dubbeli'echten  van  fc’j, 
dus  singuliere  nulstralen.  Andere  dubbele  nulstralen  zijn  er  niet, 
^vant  wanneer  een  rechte  i(  van  ri’  niet  door  B gaat,  doet  d'  dit 
wel.  Daar  B dubbelpunt  is  van  de  Jacobiana  van  elk  tot  {c’|  be- 
hoorend  net,  vervangt  dit  punt  vier  kritische  punten.  Buiten  B 
liggen  dus  nog  twee  singuliere  punten  ; zij  worden  door  een  singulieren 
nulstraal  verbonden. 
7.  In  een  viervoudig  lineair  stelsel  is  elk  punt  Z)  dubbelpunt 
voor  een  bundel  (d").  Twee  van  die  krommen  hebben  een  keerpunt 
in  C ^ D. 
Ik  beschouw  nu  het  nidstehel,  waarin  aan  het  nulpunt  6’ worden 
toegevoegd  de  keerpuntsraaklijnen  c,c'  der  beide  cuspidale  krommen 
y",  die  in  C hun  keerpunt  hebben. 
De  rechte  d.  wordt  in  elk  van  haar  punten  D aangeraakt  door 
een  nodale  d»,  die  haar  dubbel|)uiit  in  I)  heeft.  Met  de  rechte  PD 
heeft  d»  nog  (n— -2)  punten  E gemeen.  Om  de  meelkundige  plaats 
der  punten  E te  vinden,  ga  ik  na  hoe  vaak  E in  P komt.  Iti  dit 
geval  behoort  (f"  tot  den  com[)lex,  die  in  P een  basispunt  heeft; 
daarin  komen  (4n — 7)  d>‘  voor,  die  d raken  0 2).  Bijgevolg  is  (E) 
een  kromme  van  den  graad  {5n — 9). 
Als  E op  d ligt,  raakt  PE=d'  in  dat  punt  aan  een  d»,  welke 
haar  dubbelpunt  op  D heeft.  Elke  rechte  d is  dus  dubbelpuntsraak- 
lijn  van  (5?i — 9)  krommen  d»,  waarxan  de  tweede  raaklijn  d'  door 
F gaat.  Laat  men  nu  d om  een  punt  Q wentelen,  dan  beschrijft 
het  punt  D een  kromme  (Z)),  waarvan  elk  punt  dubbelpunt  is  van 
een  d»,  die  haar  raaklijnen  d en  d'  door  Q on  P zendt.  In  Q 
wordt  een  d'  door  QP  aangeraakt;  dus  is  Q,  en  dan  ook  P,  een 
punt  van  {D),  zoodat  deze  kromme  van  den  graad  (5?2 — 8)  is. 
Is  C een  der  {bn — lÜ)  punten,  welke  [D],  buiten  P en  Q,  met 
de  rechte  PQ  gemeen  heeft,  dan  vallen  de  raaklijnen  d,d'  beide 
langs  PQ,  zoodat  C een  keerpunt  is  van  een  cuspidale  kromme  y", 
welke  c = PQ  tot  keerpuntsraaklijn  heeft. 
hl  het  bovenbedoelde  nulstelsel  heeft  een  rechte  dus  b{n — 2)  nul- 
punten. 
