951 
Als  c om  een  punt  M wentelt,  lipschrijven  de  iiulpnnten  C dus 
een  kromme  van  den  graad  {pn — bj,  met  didtbelpiint  d/  (de  niil- 
kroinme  van  d/). 
8.  Het  stelsel  .S^)  bevat  een  aantal  krommen  met  een  drievoudig 
punt.  Wordt  voorgesteld  door  de  vergelijking 
ifA  ^ i3Z>’  + yC  4 (in  + 0, 
dan  hebben  de  coördinaten  van  een  drievoudig  punt  te  voldoen  aan 
de  zes  vergelijkingen 
«Aa-/  + 4 yC/d  -i  (l-D/c/  4 fA’/,-/  = 0, 
waarin  A/d  enz.  afgeleiden  naar  ,v/^  en  av  aandniden. 
Men  heeft  dus  het  aantal  punten  te  zoeken,  waarvoor 
^11  ^^35  ^13  ^33  ""^31 
C,,  C\,  c„  =0. 
^33  ^^33  E,,  E,,  E,, 
Volgens  een  bekenden  regel  vindt  men  hiei'voor 
(5-^-4  + 3’^2^4-14  (■u-2)'b 
Er  zijn  dus  'J5('« — 2)’’  krommen  c:‘  met  een  drievoudig  gunt  /S’’). 
In  zulk  een  punt  hebben  de  iiodale  krommen  dezelfde  raaklijnen 
d,d' . Elke  rechte  door  S is  als  een  (oneigenlijke)  keerpnntsraaklijn 
c te  beschouwen. 
Het  nulstelsel  heeft  dus  15(n — 2)'‘  singuliere  gunten. 
9.  Ik  neem  nu  drie  punten  4,  Q,  willekeurig  aan,  en  beschouw 
(zie  § 7)  de  krommen  (/))pq  en  {D)pr.  Zij  hebben  vooreerst  het 
punt  P gemeen;  immers,  er  is  een  d",  die  P tot  dubbelpunt  en  PQ 
tot  raaklijn  heeft,  en  ee)i  d",  waarvoor  een  der  raaklijnen  langs 
PP.  ligt. 
Verder  hebben  die  krommen  de  (5?/ — 9)  punten  /I  gemeen,  waar- 
voor QR  een  der  i-aaklijnen  d is.  Een  andere  groep  van  gemeen- 
schappelijke punten  bestaat  uit  de  singuliere  punten  S. 
Zij  U een  der  nog  overblijvende  snij[)iinten.  Er  is  dan  een  b"  met 
raaklijnen  LP  en  ÜQ,  en  ook  een  d"  met  raaklijnen  IJP  en  UR. 
Hieruit  volgt,  dat  alle  d"  met  dubbelpunt  de  rechte  67^  tot  raak- 
b Als  n = .3  is  en  het  stelsel  5 basispunten  heeft,  zijn  de  1 5 drievoudige  punten 
gemakkelijk  aan  te  wijzen.  Een  daarvan  is  het  snijpunt  van  BiBj  met  B3B4. 
