953 
een  complex  Volgens  § 2 zijn  er  op  a (4v? — 5)  dubbelpunten 
van  krommen  (T"  van  die  hun  raaklijn  d door  P zenden.  Dus 
is  P {4:71 — 5)-voudig  punt  der  kromme  {E)  en  deze  dus  van  den 
graad  (5?i — 8).  In  elk  van  haar  snijpunten  F met  a heeft  een 
kromme  t""  een  tlecnodaalpunt,  waarvan  de  iutleetieraaklijn  ƒ door 
gaat. 
Hieruit  volgt,  dat  de  meetkundige  plaats  der  nulpuntoii  F der 
stralen  ƒ uit  een  punt  P {nulkromrne  van  P)  een  kromme  van  den 
graad  {5n — 8)  is.  Daar  zij  in  P een  vijfvoudig  punt  moet  hebben, 
bevat  een  willekeurige  rechte  / dus  (5?i  — 13)  mdinmteuF) 
12.  In  het  nulstelsel  {C,c)  heeft  P qqw  nulkrotnme  van  den  gi'aad 
(57i — 8;  met  dubbelpunt  P (§  7).  Van  haar  snijpunten  met  de  nul- 
kromme  t.o.v.  het  stelsel  {F,f)  liggen  10  in  P.  Ook  hebben  zij  de 
unicuspidale  punten  U gemeen,  waarvoor  de  raaklijn  u door  /'“gaat. 
In  elk  der  overige  (5» — 8)^ — 10  — (lOu^ — 25n-)-i2)  snijpunten  G 
heeft  een  cuspidale  kromme  niet  haar  raaklijn  c/ viei' punten  gemeen. 
Hieruit  volgt,  dat  de  vierpwitige  keevpuntsraaklf  ien  een  kromme  van 
de  klasse  (15»’  — 55» “^2)  omhullen. 
Als  n gelijk  is  aan  drie,  worden  de  krommen  met  vierpuntige 
raaklijnen  \’ervangen  door  kegelsneden,  elk  met  een  van  haar  raak- 
lijnen. Het  nulstelsel  {F,f)  heeft  dan  de  kenmerkende  getallen  5 en 
2;  de  nnlkromme  [Py  van  P is  van  de  klasse  22,  zendt  dus  12 
raaklijnen  f door  P,  en  elke  dezer  rechten  vormt  met  de  haar 
rakende  kegelsnede  een  f met  viei'puntige  raaklijn.  In  overeenstem- 
ming hiermee  levert  de  vorm  15u’  — 55» -(- 42  voor  » = 3 het 
getal  12. 
13.  In  een  vijfvoudig  oneindig  stelsel  is  elk  punt  il  dubbel- 
punt voor  een  net  van  nodale  krommen.  Een  rechte  d door  1)  be- 
paalt daarin  een  bundel,  waar\an  alle  d"  in  D aan  d raken.  Er  is 
dus  6671  cuspidale  y”,  die  een  rechte  c door  D tot  keerpnntsraaklijn 
heeft.  De  krommen  y",  met  keerpunt  D,  vormen  een  stelsel  met 
index  twe6-,  immers  de  krommen  d",  die  door  eenig  punt  P gaan, 
vormen  een  bundel,  en  deze  bevat  twee  krommen  met  keerpunt  in 
D.  Brengt  men  elke  rechte  c door  D tot  doorsnijding'  met  de  cns- 
pidale  y",  die  zij  in  ü aanraakt,  dan  ontstaat  blijkbaar  een  kromme 
van  den  graad  (» -4- 2),  welke  in  D een  \ ijfvondig  punt  bezit.  Hier- 
b Voor  w = 3 is  5n — 13  = 2.  Elke  cp*  is  dan  hel  samenstel  van  een  rechte  f 
en  een  (p~.  Elke  rechte- ƒ behoort  in  .S(4  tot  een  figuur  haar  snijpunten 
met  zijn  de  beide  nulpunten  F. 
62 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVII.  AE  1918/19. 
