955 
beechouw  ik  de  krommen  t’>,  waarvan  het  punt  T op  de  rechte  a 
ligt  en  zoek  den  graad  der  kromme,  welke  de  groepen  van  {71 — 3) 
punten  E be\at,  waarin  t"  nog  door  PT  wordt  gesneden. 
Als  E in  F ligt,  behoort  t"  tot  een  en  T is  een  der  6(n — 2) 
punten,  welke  (§  J5)  de  kromme  {T)  met  a gemeen  heeft.  Dus  is 
E een  (6?i — 12)voudig  punt  op  de  kromme  [E),  welke  bijgevolg 
den  graad  (7n — 15)  heeft. 
De  nulkromme  van  P is  dus  van  den  graad  (7?i— 15).  Daar  zij 
driemaal  door  P gaat,  is  een  rechte  t door  /^raaklijn  voor  In — 18) 
krommen  t«,  die  hun  drievoudig  punt  T op  t hebben.  Een  iiulstraal 
heeft  dus  (Jn — 18)  nulpunten. 
17.  De  krommen  {T),  die  bij  twee  in  begrepen  stelsels 
behooren,  hebben  de  15(71 — 2)’  punten  7’  van  het  stelsel gemeen, 
dat  de  ,, doorsnede”  der  beide  vormt. 
De  overige  snijpunten  zijn  kritische  punten,  d.  w.  z.  elk  van  hen 
is  drievoudig  punt  voor  een  bundel  van  krommen  t»,  dus  singulier 
nulpunt  aS  voor  {T,t).  Dit  nulstelsel  heeft  bijgevolg  21(^7 — 2)’  singu- 
liere nulpunten. 
Daar  de  drietallen  raaklijnen  der  krommen  t"  van  dien  bundel 
een  involutie  vormen,  is  S drievoudig  punt  met  een  keerpuntstak 
voor  vier  krommen  t’*.  Elk  singulier  nulpunt  draagt  vier  dubbele 
nulsWalen. 
18.  De  nulkrommen  van  P en  Q hebben  de  .singuliere  nulpunten 
& en  de  nulpunten  van  PQ  gemeen.  Elk  der  overige  snijpunten  7’ 
zendt  een  nulstraal  door  P,  een  tweeden  door  Q.  Uit  (777 — 15)’— 
— 21(77 — 2)’ — (777 — 18)  volgt  dus,  dat  de  nulstraleu  een  kromme 
van  de  klasse  (28?7’ — 13377+159)  zullen  omhullen,  wanneer  t^  om 
een  punt  P wentelt.  De  nulstralen  van  P behooren  ieder  tweemaal 
tot  die  omhulde  ; elke  der  overige  raaklijnen,  die  zij  door  P zendt, 
is  blijkbaar  dubbele  nulstraal.  De  dubbele  nidstrnlen  omhullen  dus 
een  kromme  van  de  klasse  (2877’— 13377+153). 
19.  Om  de  meetkundige  plaats  der  punten  T te  vinden,  waarvoor 
twee  der  nulstralen  samenvallen,  beschouw  ik  de  kromme  {p)in-\b 
omhuld  door  de  nulstralen  der  op  p gelegen  punten.  Deze  heeft  p 
tot  (7/7 — 18)voudige  raaklijn,  wordt  dus  door  p gesneden  in 
(777 — 15)(777— 16)  — (777 — 18)(777 — 1 7)  punten.  Daar  voor  elk  dier 
punten  twee  nulstralen  samenvallen,  liggen  de  punten  T met  dubbele 
nuhtralen  op  een  kromme  van  den  graad  (28?7 — 66). 
62^ 
