Ofil 
Hiermede  is  de  congruentie  (49, 49)  v erantwoord  en  tevens  een 
controle  op  de  volledigheid  van  het  gevonden  systeem  der  singuliere 
stralen  verkregen. 
7.  Volgens  de  stelling  van  Halphen  hebben  de  congruenties  .2" (5,6), 
die  aan  twee  sterren  P en  Q toegewezen  zijn,  61  sti’alen  gemeen. 
Hiertoe  behoort  in  de  eerste  plaats  de  rechte  t' , die  aan  de  rechte 
t=  PQ  is  toegevoegd. 
Iedere  congruentie  21  heeft  tot  beschrijvenden  de  hoofdstralen  AB 
enz.,  (6  in  getal),  «/l  enz.  (6),  AA*  enz.  (4).  Immers  met  elk  der 
twaalf  eerstgenoemde  komt  een  bilineaire  congruentie  overeen,  met 
de  vier  laatstgenoemde  een  ster  en  deze  zenden  alle  één  straal  door 
een  willekeurig  punt.  Hiermede  zijn  16  gemeenschappelijke  rechten 
verantwoord. 
De  overige  44  vinden  we  als  volgt.  Volgens  ^ 1 zijn  er  vijf 
regelscharen  [h  c d)  welke  door  A en  tevens  door  P en  Q gaan. 
Een  regelschaar  {b  c d)  door  A is  volgens  ^ 5 van  de  mededeeling 
van  Prof.  de  Vries  aan  een  straal  door  A toegewezen.  De  beide 
congruenties  2 hebben  dus  vijf  stralen  door  A,  en  evenveel  door 
B,  C en  D gemeen. 
Ook  zijn  er  zes  regelvlakken  {b  c d),  die  aan  a raken  en  door 
P en  Q gaan.  Een  aan  a rakende  regelschaar  {bed)  is  toegevoegd 
aan  een  rechte  in  a.  De  beide  congruenties  2 hebben  dus  zes  in  a, 
en  evenveel  in  ji,  7 en  d gelegen  stralen  gemeen. 
We  vinden  zoo  inderdaad  nog  4X5  + 4 X 6 = 44  gemeenschap- 
pelijke stralen. 
Het  onderzoek  van  de  doorsnede  van  twee  congruenties  (6,5) 
verloopt  geheel  analoog. 
Eenigszins  andèrs  is  het  met  de  gemeenschappelijke  stralen  der  con- 
gruenties ^ en  P,  die  aan  een  ster  /''en  een  veld  D zijn  toegevoegd. 
Deze  hebben  volgens  de  stelling  van  Halphen  60  stralen,  gemeen. 
Hiertoe  behooren  de  hoofdstralen  AB  enz.,  (6  in  getal),  (( d enz. 
(6),  te  zamen  twaalf  rechten. 
Er  zijn  zes  oppervlakken  {bed)  door  A,  die  door  P gaan  en  aan 
V raken.  Deze  geven  zes  rechten  door  .1,  die  aan  ^ en  f/’ gemeen 
zijn.  Evenveel  vinden  we  er  door  7i,  6’  en  D;  tezamen  24  rechten. 
De  zes  oppervlakken  {bed),  die  aan  n raken  en  door  P gaan  en 
aan^  V raken  geven  6 gemeenschappelijke  rechten  in  «.  Evenveel 
zijn  er  in  [i,  y en  d,  tezamen  24  rechten. 
Hiermede  zijn  inderdaad  60  rechten  verantwoord. 
Deze  § geeft  een  controle  op  de  volledigheid  van  het  gevonden 
stelsel  der  hoofdstralen. 
