963 
een  bundel  van  vierdegraadskronmien  voorgesteld,  die  alle  in  O 
een  dubbelpunt  bezitten  en  daar  raken  aan  x en  y;  de  verdere 
basispunten  zijn  de  raakpunten  der  6 raaklijnen,  uit  O aan 
getrokken,  en  de  4 snijpunten  van  2^  met 
Stellen  wij  hierin 
r = — 1, 
dan  kiezen  wij  uit  den  bundel  een  kromme,  die  ontaard  is  in  de 
beide  lijnen  x en  y en  een  kegelsnee  [3  met  de  vergelijking 
jj  = 4;’  7nxy  — 2^  =:  0. 
Men  noemt  /i  ,,de  kegelsnede  van  Bp:rtini”. 
Op  de  kegelsnee  d liggen  de  raakpunten  der  6 raaklijnen,  uit  O 
aan  getrokken,  en  de  beide  snijpunten  van  met  z. 
Trekken  wij  verder  door  O een  willekeurige  lijn 
y — lx  = 0, 
dan  worden  hare  snijpunten  met  y^  gevonden  uit 
I (1  + mZ  4-  /’)  + ^ (a  + 6/  + cZ^  4-  4Z')  = 0, 
die  met  ^ uit 
X*  (1  4-  nil  4-  Z’)  — 2^  = 0, 
waaruit  dadelijk  blijkt : 
Een  loillekeurige  lijn  I door  O snijdt  y<  buiten  O in  nog  2 punten, 
die  door  de  snijpunten  van  I met  d harmonisch  gescheiden  worden. 
2.  De  kromme,  door  ons  bedoeld,  wordt  nu  verkregen  door  in  de 
vergelijking  (I)  den  coëfficiënt  m,  gelijk  nul  te  stellen.  De  meetkundige 
beteekenis  hiervan  is  de  volgende: 
De  nu  door  ons  heschoiuode  kromme  y^  wordt  door  de  Ijn  z,  die 
de  heide  punten  verbindt,  waarin  y^  nog  door  hare  dubbelpuntsraak- 
lijnen  gesneden  wordt,  gesneden  in  nog  twee  punten,  die  door  de  beide 
eersten  harmoniwli  gescheiden  tvorden. 
Gemakshalve  zal  ik  verder  spreken  van  de  ,, harmonische  kromme 
met  een  dubbelpunt”. 
Hare  vergelijking  luidt  aldus: 
7^  = + ld  f «")  + 2 + bx^y  + ex'^y  + dy*)  = 0 . (1) 
Stellen  wij  nu 
y = {l4-0>c'  + (1  — 4-  22  l^.t'I^Z)— d +y(^-a  ^ J 
4a  4(Z 
en  lil  = 2 xy  4 ; xz  4-^ yz, 
^ ^ 1 _ C ^ 1 -f  G’  ^ 
waarin  C een  willekeurige  constante  is, 
dan  is  4 y,  = 2 xyg<  4-  |(1  _ G)  f (1  4-  D)  ifi . . . (2) 
