I 
Wiskunde.  — De  Heer  Brouwkr  biedt  een  inededeelmg  aan : 
,, Opsomming  der  periodieke  transformaties  van  den  torus”. 
§ 1.  Transformaties  met  invariante  indicatrix  en  aiva riante  cgclose. 
We  znllen  zeggen,  dat  een  transfortnatie  de  cgclose  invariant  laat, 
[ wanneei-  zij  iederen  cgkel  (d.  w.  z.  iedere  niet  sainenirekbare  enkel- 
voudige gesloten  kromme),  ook  mat  den  zin  betreft,  aeqnivalent  tram- 
\ formeert.  Een  /?-|)eriodieke  transformatie  t met  invariante  indieati-ix 
j en  invariante  cjclose  van  den  torus  R kan  dan  geen  punt  invariant 
! laten  '),  zoodat  baar  modnnioppervlak  op  grond  \an  de  formnie 
j van  Hurwitz ’)  een  torus  7’ moet  zijn.  De  beide  oppervlakken  /f  en  T 
j bezitten  een  gemeenscliappelijk  enkelvoudig  samenhangend  ovei'ge- 
j wikkeld  oppervlak  S.  Dit  op[)ervlak  S kan  o[)  zoodanige  wijze 
I topologisch  (d.  w.  z.  eeneendnidig  en  continu)  worden  afgedeeld  op 
i een  Cartesisch  vlak  C,  dat  op  6'  de  translatie 
ir) 
ix'  =2  x -j-  a {a  geheel) 
i .v'  = y 
beantwoordt  aan  t,  en  de  translatiegroep,  voortgebracht  door  de 
translaties 
(;c'  = a;  + 1 ix'  2=  X 
\i/=y  ""  \y'  = y + ^ 
aan  de  transformatiegroep  van  S,  die  alle  punten  van  T invariant 
laat.  Nu  correspondeeren  twee  punten  /\  en  van  C dan  en 
slechts  dan  met  hetzelfde  punt  van  7’,  als  ze  hetzij  met  hetzelfde 
punt  van  R correspondeeren,  hetzij  P,  door  een  macht  der  trans- 
latie T wordt  overgevoerd  in  een  pnnt  Pj,  dat  met  hetzelfde  punt 
van  R correspondeert  als  P,.  Hiei-nit  \olgt  ten  eerste,  dat  een  trans- 
latie van  C van  den  vorm 
ix'  = x + b (b  geheel) 
\y'  — y f 1 
kan  worden  aangegeven,  die  alle  punten  van  R invariant  laat, 
tweede,  dat,  als  n de  minimale  waarde  is,  waaiwoor  de  tianslatie  van  C 
h Deze  Verslagen  XXVII,  p.  609—612. 
2)  Ibid.,  p.  1201. 
2)  Math.  Annalen  41,  p.  404. 
88* 
