1384 
x'  -j-  « 
y = y 
alle  pmiteii  van  R invariant  laat,  a en  n onderling  ondeelbaar  zijn. 
Derhalve  wordt  \'oor  een  passend  systeem  van  ringlioekcoördinaten 
op  li  de  transformatie  t voorgesteld  door  de  formules: 
iff  = 4- [a  en  n onderling  ondeelbare  geheele  getallen). 
^ 2.  Transformaties  met  invariante  indicatrix  en  variabele  cyclose. 
Zij  t de  bescdionwde  ??--periodieke  ti-ansformatie  van  den  torus  R, 
t'  een  met  t corres|iondeerende  transfoimiatie  van  het  enkelvoudig 
samenhangende  overgewikkelde  0[)pervlak  S van  R.  Door  een  pas- 
sende afbeelding  van  S op  een  Carlesisch  vlak  C gaat  t'  over  in 
een  transformatie  t"  van  6',  die  van  een  periodieke,  homogene  line- 
aire transformatie  mei  geheele  coëfficiënten  en  een  determinant  1 
slechts  begrensde  afwijkingen  vei'toont,  dus  zich,  evenals  de  laatste 
transformatie,  periodiek,  eeneendnidig  en  continu  over  den  oneindig 
veri-en  cirkel  van  C laat  uitbreiden,  waarbij  op  dezen  cirkel  de 
omloopszin  invariant  is,  dus  geen  invariant  punt  optreedt,  zoodat  f 
in  het  eindige  van  C,  dus  ook  t op  R een  invariant  punt  bezitten 
moet.  Daar  derhalve  hel  modnuloppervlak  van  t door  R nietoxwQv- 
takt  wordt  overdekt,  is  dit  modnuloppervlak  op  grond  van  de  boven 
geciteerde  formule  van  Hurwitz  een  bol  B,  waarovei'  R als  een 
i-egel matig  Rieraannsch  oppervlak  van  het  geslacht  één,  ?i-bladig  en 
met  een  ?/-bladig  vertakkingspnnt  in  het  zooeven  aangetoonde  voor 
t invariante  punt  ligt  nitgebreid,  zoodat  slechts  \ier  gevallen  moge- 
lijk zijn  '): 
1.  n = 2 ; R bedekt  B met  viei-  tweebladige  vei'lakkingspnnten. 
II.  n = 6;  R bedekt  B met  een  tweebladig,  een  driebladig  en 
een  zesbladig  vertakkingspunt. 
III.  ?i  = 4 ; R bedekt  B met  twee  vierbladige  en  een  tweebladig 
vertakkingspunt. 
IV.  n = 3 ■,  R bedekt  B met  drie  dilebladige  vertakkingspunten. 
In  elk  dezer  vier  gevallen  is  dooi'  de  aangegeven  structuur  van  het 
Rieniannsche  oppervlak  de  transformatie  t volledig  gekarakteriseerd. 
^ 3.  Jnvolntorische  transforniaties  met  omkeerende  indicatrix. 
Zij  y de  verzameling  der  voor  de  beschouwde  transformatie  ^ van 
h Appell  el  Goursat,  Théorie  des  fonctions  algébriques.  Paris,  Gauthier-Villars, 
1895,  p.  241. 
