1 865 
j den  torus  R iiivariaiito  punten,  dan  zijn  drie  gevallen  te  oiidersclieiden  : 
{ <(.  De  complemeiitairverzameling  van  / in  R he.staat  uit  meet'  dan 
één  gebied.  Daar  geen  dezer  gebieden  door  t in  zielizelf  met  invariante 
randpunten  kan  worden  getransformeerd,  worden  ze  door  t twee 
aan  twee  verwisseld.  Beselionwen  we  twee  zulke  door  t verwisselde 
gebieden  g^  en  </,,  dan  hebben  ze  een  gemeenseliappelijke  grens,  die 
i zoowel  voor  (/,  als  voor  onbeivald  ')  is,  hetgeen  alleen  kan  woi'den 
verwezenlijkt,  als  deze  grens  uit  twee  aeqnivalente  cykels  bestaat, 
I zoodat  t voor  een  passend  systeem  van  ringhoekcoördinaten  voor- 
; gesteld  wordt  door  de  formules  : 
j 93'  = — (f, 
I lp'  = V’- 
g.  De  coinplementairverzatneling  vati  I in.  R be.'itaat  uit  één,  met 
[ R niet  identiek  gebied  g.  Indien  g niet  to|)ologiscdi  afbeeldbaar  was 
I op  een  deelgebied  van  een  bol,  zou  met  t een  in\ olutorische  trans- 
j formatie  met  omkeerende  indicatrix  van  het  enkelvoudig  samen- 
j hangende  overgewikkelde  oppervlak  iS  van  R cori-espondeeren, 
! waarbij  de  complemeiitairverzameling  der  invariante  punten  o|)  /S' 
I uit  een  enkel  gebied  zou  bestaan,  wat  onmogelijk  is.  Derhalve  is  g 
afbeeldbaar  op  een  deelgebied  van  een  bol,  zoodat  zijn  randen  door 
t twee  aan  twee  worden  verwisseld,  Beschouwen  we  twee  zulke 
door  t verwisselde  randen  /■,  en  r,,  dan  zijn  ze  beide  voor  g onbe- 
wald,  vallen  dus  samen  in  een  enkelen  cykel  k van  R.  Het  gebied 
g -|-  k is  nu  niet  meer  afbeeldbaar  op  een  deelgebied  van  een  bol, 
kan  dus  geen  randen  meer  bezitten,  want  deze  randen  zouden 
eenerzijds  voor  t invariant  moeten  zijn,  andererzijds  door  / twee  aan 
twee  moeten  worden  verwisseld.  Daar  derhalve  y -|- I' met  /f  identiek 
is,  wordt  t voor  een  passend  systeem  van  ringhoekcoördinaten  voor- 
gesteld door  de  formules : 
iep'  = — (p 
I if>'  = xp  + (p. 
7.  De  verzamelitug  / valt  weg.  In  dit  geval  bezit  t een  eenzijdig, 
gesloten  moduulop|)er\'lak  M.  Zij  k een  cykel  van  A/,  h zijn  beeld 
op  R,  dan  correspondeert  met  een  omloop  van  h hetzij  een  dubbele, 
hetzij  een  enkele  omloop  van  k.  In  het  eerste  geval  is  k eenzijdig, 
in  het  tweede  geval  tweezijdig.  Indien  M geen  twee  elkaar  niet 
snijdende  eenzijdige  cykels  bezat,  zouden,  als  we  het  beeld  op  R 
van  een  willekeurig  gekozen  eenzijdigen  cykel  van  M door  .s’  voor- 
stellen, twee  voor  t aeqnivalente  punten  van  R niet  zonder  snijding 
b Math.  Annalen  71,  p.  321. 
*)  Ibid.  80,  p.  36-41. 
