1379 
4.  De  hl  2 genoemde  limiet  bestaat  dan  en  alleen  dan,  als  bij 
ieder  positief  getal  e een  zoodanig  positief  getal  rf  is  aan  te  wijzen, 
dat  voor  ieder  tweetal  elementen  E en  E'  van  geldt  '\E — E'^  <f^ 
(algemeene  limietstelling).  Dat  deze  voorwaarde  voor  hel  bestaan 
van  een  limiet  noodig  is,  is  oniniddellijk  duidelijk. 
Dat  deze  voorwaarde  ook  voldoende  is,  blijkt  bij  reëele  getallen 
door  op  te  merken,  dat  (als  de  voorwaarde  vervuld  is)  aan  de  defi- 
nitie van  limiet  voldaan  wordt  door  de  bovenste  grens  der  getallen 
a,  waarvoor  een  Vs  bestaat,  waarvan  alle  elementen  zijn.  Voor 
complexe  getallen  bewijst  men  dan  verder  de  stelling  door  die  voor 
reëele  getallen  toe  te  passen  0[)  de  reëele  deelen  en  de  coëtTieiënien 
van  i der  complexe  getallen. 
5.  We  denken  ons  twee  0|>  elkaai-  afgebeelde  getallen  verzamelin- 
gen V en  W met  bijbehoorende  toevoegingswetteii.  Deze  wetten 
onderstellen  we  zoodanig,  dat  voor  ieder  positief  getal  <\  de  bijbe- 
hoorende deelverzamelingen  Vs  en  IF,  in  de  afbeelding  van  Fop  TF 
met  elkaar  correspondeeren. 
We  vormen  nn  een  verzameling  U door  correspondeerende  ele- 
menten van  F en  TF  op  te  tellen,  waarbij  ook  de  toovoegingswer 
op  ü is  over  te  dragen.  Heeft  nu  bij  deze  toevoegingswetten  een 
limiet  L„  en  W een  limiet  L^,  dan  heeft  ook  U een  limiet,  en  wel 
L„  -j-  Lw,  zooals  zonder  moeite  uit  de  definitie  van  limiet  is  af  te 
leiden. 
Ook  andere  bekende  eigenschappen  betreffende  limieten  kunnen 
op  deze  wijze  algemeen  geformuleerd  worden. 
6.  We  onderstellen  nn,  dat  de  elementen  der  verzameling  V reëele 
getallen  zijn,  maar  laten  in  het  midden  of  V een  limiet  bezit.  Men 
kan  dan  beschouwen  de  onderste  grens  van  de  bovenste  grenzen  der 
deelverzamelingen  V^.  Deze  heet  de  bovenste  limiet  der  getallen- 
verzameling V ten  aanzien  van  de  beschouwde  toevoegingswet.  De 
bovenste  limiet  B is  -|-  oo,  als  alle  verzamelingen  Fj  naar  boven 
onbegrend  zijn,  en  oo,  als  de  verzameling  van  de  bovenste  grenzen 
der  verzamelingen  Vs  naar  onderen  onbegrensd  is. 
Evenzoo  wordt  de  bovenste  grens  O van  de  onderste  grenzen  der 
verzamelingen  Vs  de  onderste  t.imiet  van  V ten  aanzien  van  de 
beschouwde  toevoegingswet  genoemd.  Deze  onderste  limiet  kan  weer 
± 00  zijn.  Het  blijkt  gemakkelijk,  dat  steeds  O^B  is. 
De  verzameling  V heeft  dan  en  alleen  dan  een  limiet  L,  als 
O en  B gelijk  en  eindig  zijn;  men  heeft  dan  L=0—B.  Zijn 
O Qn  B beide  -f'  spreekt  men  van  een  oneigenlijke  limiet 
-j-  00,  zijn  O en  B beide  — oo,  dan  van  een  oneigenlijke  limiet  — oo. 
89* 
