'ieder  positief  getal  e een  zoodanig  positief  getal  rf  bestaat,  dat  ieder 
element  E der  deelverzameling  Ge  van  G voldoet  aan  \E — LQ\  <^e, 
welk  elemerit  van  V (dus  welke  getallenverzaïneling  G)  men  ook 
kiest;  hierbij  wordt  geeiseht,  dat  (f  van  het  gekozen  element  van  V 
onafhankelijk  is. 
Uit  de  algemeene  limietstelling  (zie  n“.  4 van  mijn  vorig  opstel) 
volgt,  dat  gelijkmatige  convergentie  dan  en  alleen  dan  aanwezig  is, 
als  bij  ieder  positief  getal  e een  van  G onafhankelijk  positief  getal 
ó bestaat  zoodanig,  dat  ieder  tweetal  elementen  E en  E'  van  Gi  aan 
\E — E'\<ji  voldoet. 
4.  We  nemen  nu  aan,  dat  de  in  n\  3 getioemde  gelijkmatige 
convergentie  bestaat  en  verder,  dat  iedere  getallenverzanwling  H [ten 
aanzien  van  de  hij  V hehoorende  toevoeg ingsmet)  een  lionet  bezit; 
hierdoor  komt  bij  ieder  element  van  W een  getal  te  behooren. 
We  toonen  nu  vooreerst  aan,  dat  de  verzameling  \Lq\  der  ge- 
tallen Lq  {ten  aanzien  van  de  bij  V behoorende  toevoegmg.nvet)  een 
limiet  L bezit.  Daarvoor  hebben  we  te  bewijzen,  dat  hij  ieder  positief 
getal  f een  zoodanige  Vs  bepaald  kan  worden,  dat  voor  ieder  tweetal 
elementen  van  Vs  geldt  \Lq — LQ'\<j^,  waarin  Lq  en  Lq  de 
bijbehoorende  getallen  van  \Lg\  zijn.  Zijn  E en  E'  elementen  van 
G resp.  G' , die  tot  een  zelfde  verzameling  H behooren,  dan  is: 
\Lg-Lq,\^\Lg-E\  4-  \E-E'\  + \E'-LQè. 
Wegens  de  gelijkmatige  convergentie  der  verzamelingen  G kan 
men  H zoo  kiezen,  dat  \Lq — E\  en  \E' — Lq’'.  beide  t zijn. 
Daar  H een  limiet  bezit,  kan  men  d zoo  kiezen,  dat  iedei’  tweetal 
elementen  E en  E'  vati  Hs  aan  \E — E'\  ^ voldoet.  Voor  de 
getallen  Lq  en  LjQ',  die  bij  twee  elementen  van  Vs  behooren,  geldt 
dan  \Lg — Lq'\  -)-  ie 
5.  Vervolgens  bewijzen  we,  dat  de  verzameling  Lh  der  getallen  Lh 
[ten  aanzien  van  de  hij  W behoorende  toevoeging.noet)  eveneens  L tot 
limiet  heeft.  Daartoe  gaan  we  uit  van 
\Lh—L\  41  T.h-E\  + \E-~Lq\  4-  \Lg-LI 
waarin  E het  aan  de  verzamelingen  (d  en  H gemeenschappelijke 
element  is.  Nu  kan  men  (wegens  de  in  n“.  3 genoemde  gelijkmatige 
convergentie)  het  positieve  getal  4 zoo  bepalen,  dat  aan  \E — LQ\<^^f 
voldaan  is,  zoo  E een  element  van  Gs  is,  dus  zoo  // bij  een  element 
van  Ws  behoort;  hierin  is  e eeti  willekeurig  gekozen  positief  getal. 
Heeft  men  nu  een  bepaald  element  van  Ws  (dus  ook  H en  Lff) 
gekozen,  dan  kan  men  zoo  bepalen,  dat  \Ln — E\  <4  >s. 
