1384 
door  partiele  sommatie 
N»i  a„,  — m='  — =:  Sy,  „ — \ m [(m  -(-  1)°''  — . (38) 
0 0 o 
Uit  deze  gelijklieid  volgt  dat  voor  a <^6  de  bovenste  limiet  voor 
n = 00  van  Sy^n  oneindig  groot  is,  en  wel  zo  dat  die  minstens 
equivalent  is  met  Was  dit  niet  zo,  en  was  eindig  of  zijn 
bovenste  limiet  voor  n — x equivalent  met  een  kleinere  pozitieve 
macht  van  n,  zeg  dan  zon  de  eerste  terra  van  het  rechterlid 
van  de  orde  zijn,  terwijl  de  termen  van  de  reeks  in  dat  lid 
van  de  orde  hun  som  dns  insgelijks  hoogstens  van  de  orde 
n®-®  zon  zijn.  Dit  is  in  strijd  met  de  aanvankelike  ondei'Stelling  dat 
het  linkerlid  van  de  gelijkheid  van  de  orde  n®  is. 
De  stelling  is  hiermee  bewezen.  Een  gevolg  dat  vei'melding  ver- 
dient is  dat  de  reeks  (36)  vooi'  h <^6  zodanig  divergeert  dat  de 
bovenste  limiet  van  de  som  (36')  voor  7i  = cc  presies  equivalent  is 
met  n®-*  (in  het  tweede  deel  van  ons  bewijs  vonden  we  dat  hij  er 
niinsteiis  equivalent  mee  was).  Immers,  was  die  limiet  equivalent 
met  een  hogere  macht  van  ii,  zeg  yi®”='+'’,  dan  zou  de  grens  van 
kon vergentie  en  divergentie  van  de  reeks 
o o 
volgens  de  zo  juist  bewezen  stelling  geleverd  worden  door /?  = (9 -j- d, 
en  niet  door  />  = (9.  Men  kan  ditzelfde  gevolg  trouwens  ook  afleiden 
dooi’  op  te  merken  dat  uit  de  gelijkheid  (37)  volgt  dat  voor  a <^6 
het  linkerlid  hoogstens:  equivalent  is  met 
Dezelfde  hulpstelling  als  boven  bewezen  is  geldt  voor  de  fakul- 
teitreeks 
o 
n ! Uil 
r{(t  -f  n p-l) 
(39) 
zoals  men  op  volkomen  analoge  manier  bewijzen  kan.  Beide  stel- 
lingen \loeien  trouwens  uit  elkaar  voort,  omdat  de  reeksen  (38)  en 
(39)  tegelijkertijd  konvergeren  en  di\  ergeren,  tenminste  zolang  yt  niet 
juist  de  grenswaarde  & tussen  kon  vergentie  en  divergentie  heeft. 
il.  We  konstrueren  nu  een  rij  van  koeffisienten 
. . . Um  (40) 
waarvan  de  bovenste  limiet  voor  'ii  = cc  equivalent  is  met  n",  terwijl 
de  bovenste  limiet  van  de  som  (35)  equivalent  is  met  w®,  waarin  6 
