1388 
rix  + n + 1) 
n ! a,. 
(6) 
o 
voor  R{.v)  O.  Dus  is  het  hier  niet  waar  dat  deze  reeks  konvergeert 
voor  R{x)^  l' {■=())  en  R{.c)^l,  laat  staan  dat  zekere  integraal  van 
de  vorm  (1)  voor  al  zulke  waarden  van  iv  in  die  reeks  ontioikkeld 
kan  ivorden.  Het  teorema  van  Nielsen  is  dus  onjuist. 
J2.  We  maken  van  de  gelegenheid  gebruik  om  op  te  merken  dat 
met  behulp  van  de  stelling  van  N“.  10  uit  het  eerste  deel  van 
formule  (43)  \'alt  af  te  leiden  dat  nooit  konvergentie  van  de  fakul- 
leitreeks  (6)  plaats  \'indt  voor  R{x)  een  waarheid  die  we  in  N".  9 
van  de  vorige  mededeling  al  langs  andere  weg  hebben  aangetoond. 
Immers,  is  de  bovenste  limiet  van  .y»  voor  n = oo  equivalent  met 
)d,  dan  is  de  fnnksie,  voorgesteld  door  de  reeks 
o 
voor  t—i  hoogstens  van  de  orde  1/(J — 1)^+^,  en  dus  y {^)  hoogstens 
van  de  orde  1/(1 — tf,  zodat  het  getal  ?.  niet  groter  is  dan  (9,  terwijl 
de  grens  van  konvergentie  en  divergentie  van  de  fakulteilreeks  (6) 
volgens  de  bedoelde  hulpstelling  door  R{x)  = O wordt  geleverd. 
13.  Aan  het  slot  van  de  eerste  mededeling  zeiden  we  dat,  als 
zekere,  daar  vermelde  en  door  Nielsen  gebezigde  redenering  niet 
onjuist  was,  door  die  redenering  nog  een  zeer  algemeen  geval  van 
ontwikkelbaarheid  van  de  integraal  (1) 
(7) 
in  een  fakulteilreeks  bewezen  zou  zijn,  id.  altijd  dan,  wanneer  de 
met  die  integraal  korresponderende  fakulteitreeks  konvergeert.  We 
willen  nu  aantonen  dat  dit  geval,  hoewel  dus  door  Nielsen  niet 
bewezen,  inderdaad  juist  is.  Daarloe  hebben  we  nog  een  paar  hulp- 
stellingen nodig. 
1.  Konvergeert  de  fakulteitreeks  (6)  voor  zekere  waarde  w = c,  dan 
konvergeert  hij  voor  iedere  ivaarde  van  .r  met  een  reeel  deel  R{x) 
groter  dan  dat  van  c. 
Stellen  we 
— r(c  + mH--l) 
(44) 
