1889 
dan  vinden  we  door  partiele  sommatie 
I I 
23 
m / 
r(^  + 
1)  ^ r{c 
i r(c  m 1) 
“-Tï)'  + «i-H) 
1 ^ + 1)  r'ic  -j-  »l  '1"  1) 
r(;c  + / + 1)  r(.v  f 7n  f 2) 
n 
Wegens  de  onderstelde  eindigheid  van  .v„  <»  is,  indien  R(^v)  3>  R(c) 
de  limiet  van  de  eerste  term  van  het  tweede  lid  gelijk  aan  ni)l,als 
/ onbepaald  toeneemt,  en  konvergeert  de  reeks  in  dal  lid  absoluut. 
De  reeks  in  het  êei’Ste  lid  konvergeert  dus  ook  en  men  heeft 
m!  a„ 
r {,v  m l) 
= (x—c)  S , 
.m  D(c  + m 4-  1) 
r(.r  4-  m 4-17^  ' 
(45) 
De  stelling  is  hiermee  bewezen.  Er  volgt  nit  dat  de  grens  van  het 
konvergentiegebied  en  het  divergentiegebied  van  een  fakulteitreeks  ge- 
vormd ‘Wordt  door  een  rechte  lijn  evenwijdig  aan  de  imaginaire  as. 
Uit  de  gelijkheid  (45)  volgt  tevens  onmiddellik  deze  andere  stel- 
ling: II.  In  elk  eindig  deel  S van  het  halfvlak  /f(.'r)  > /f(c) -f- 5, 
waarin  d een  vast  maar  ivillekeurig  klein  reeel  en  pozitief  getal  is, 
konvergeert  de  fakulteitreeks  uniform. 
Immers,  men  kan  n zo  groot  kiezen,  bij  willekeurig  klein  \oor- 
geschreven  e,  dat  voor  alle  m > n 
I «)i,m  D(c  4“  wi  -4  1)  I ^ e 
I r{x  4-  m +-  2)  ' ^ 
en  dus 
{x — c) 
Sti.m  -j-  W 4“  1) 
r{x  -4  m -f  2) 
< 
^ i i 
R (x — c) 
(46) 
Daar  R{x—c)><^  is  het  rechterlid  van  deze  ongelijkheid  vooreen 
genoegzaam  grote  waarde  van  n,  die  onafhankelik  is  van  de  nmarde 
van  X in  het  gebied  S,  kleiner  dan  f.  Dit  was  te  bewijzen. 
Uit  de  ongelijkheid  (46j  volgt  ook  deze  stelling:  Ila.  Tndien  de 
fakulteitreeks  (6)  konvergeert  voor  zekere  waarde  x = c,  dan  konver- 
geert hij  uniform  op  de  halfrechte  die  begint  bij  x c en  de 
richting  heeft  van  het  pozitieve  deel  van  de  reele  as. 
Hiervoor  is  nl.  R{x — c)  = x — c;  het  rechterlid  van  (46)  gaat  dus 
over  in  ^),  en  dit  is,  onafhankelik  van  het  punt  x op  de 
genoemde  halfrechte,  kleiner  dan  f.  De  stelling  beantwoordt  aan  een 
bekende  stelling  van  Abel  over  de  uniforme  konvergentie  van  een 
