1390 
machtreeks  op  een  straal  van  zeker  pnnt  van  de  konvergentiesirkel, 
indien  die  machtreeks  in  dat  punt  kon  vergeert. 
Uit  stelling  II  volgt,  in  verband  met  het  feit  dat  de  termen  van 
de  fakulteitreeks  (6)  kontinue  funksies  van  x zijn,  dat  die  reeks  in 
het  gebied  S een  kontinue  funksie  van  x voorstelt,  ook  dan  als  S 
geheel  of  gedeeltelik  in  de  strook  van  eventueel  slechts  voorwaarde- 
like  konvergentie  ligt;  mits  natuurlik  op  een  van  nul  verschillende 
afstand  van  de  linkergrensvertikaal  van  die  strook.  We  willen  nu 
nog  aantonen  dat  die  fakulteitreeks  in  zo'n  gebied  ook  een  analiiiese 
funksie  voorstell.  Daartoe  zullen  we  bewijzen,  wat  voldoende  is,  dat 
de  reeks  gevormd  door  de  differentiaalquotienten  naai’  x van  de 
termen  van  de  eerste  reeks  in  hetzelfde  gebied  als  deze  konvergeert, 
en  wel  eveneens  uniform  in  ieder  eindig  deeLS  als  bovenaangegeven. 
De  reeks  van  de  differentiaalquotienten  kan  worden  voofgesteld  door 
— r (x)  n 
r(x  + « + 1) 
[if' (.r  f n f 1)  - (.Dl  . . (47) 
waarbij,  in  de  notatie  van  Nielsen  ’),  tfj(a;)  het  logaritmiese  differen- 
tiaalquotient  van  de  Gammafunksie  voorstelt: 
d log  r(x)  r’  (x) 
(48) 
dx  r (x) 
Partiele  sommatie  geeft,  als  men  weer  gebruik  maakt  van  de 
notatie  (44) 
I I 
(ii;-t-m+  1)  « -t  m!  /^(c-f-m-f- 1)  i))  {x-\-m  f 1) 
> 7 ?n  — - 
^ r 
r(A’  -b  m + 1) 
r(c-l-m+l) 
r(. 
1) 
j r(c  4 I -i-l)t|;(.r  + i!-|-  1) 
r{x^i+\) 
1—1 
_ V 
r(c->r  m -j-  1 ) 
r(.r  + m+^ 
[ {x—c)-\\)(x  -f  w -f  2)-  I ], 
waarbij  gebruik  is  gemaakt  van  de  differentievergelijking  waaraan 
t(j(.r)  voldoet : 
1 
xp  (.^’  + 1)  — if?  (a;)  ==  - - . 
X 
Daar  q'(.^■)  voor  .r  = co  in  hoofdzaak  gelijk  is  aan  log  .v,  is,  indien 
H{.r. — c)>(f,  de  eerste  term  van  het  tweede  lid  gelijk  aan  nul  voor 
/ = GO,  terwijl  de  reeks  in  dat  lid  absoluut  konvergeert.  De  reeks 
in  ’t  eerste  lid  konvergeert  dus  ook  en  men  heeft 
^ m!  a,n  (a’  + m 4 1) {c  4-  m 4-  l) 
^ r(A  + m+  1)  “ ..W  r(x  + m f 2) 
[ 1 —(x—c)  ifj  (a  4-  m 4-  2)1 . 
) Handbuch  der  Ganimafunktion,  p.  15,  Leipzig,  Teubner. 
