1891 
Uit  deze  gelijklieid  volgt  geinakkelik  dat  er  bij  iedere  e een  van 
X onafhankelik  getal  N is  zodanig  dat  voor  n ^ N,  en  voor  alle 
X in  het  gebied  S, 
V 
i|>  (.1;  + m 4-  1) 
n.r  + m + 1) 
< 
e log  Tl 
(f)i« 
of  ook  s,  daar  loy  nln°  nul  tot  limiet  heeft  voor  n = cc.  Hiermee 
is  de  konvergentie  van  het  eerste  deel  van  de  differentiaalqnotienten- 
reeks  (47)  bewezen  en  tevens  de  uniforme  konvergentie  in  S.  Het 
tweede  deel  behoeft  niet  nader  onderzocht  te  worden,  want  dit  vormt 
een  reeks  die  op  de  van  het  rangnummer  n onaf hankelike  faktor 
na  gelijk  is  aan  de  fakulteitreeks  zelf. 
Wegens  de  in  S uniforme  konvergentie  van  de  reeks  van  ditfe- 
rentiaalqnotienten  en  de  kontinniteit  van  de  afzonderlike  termeji  van 
deze  reeks,  stelt  hij  in  het  genoemde  gebied  het  dilferentiaalqnotient 
voor  van  de  fnnksie  die  door  de  fakulteitreeks  wordt  bepaald.  Dit 
ditferentiaalquotienl  is  dus  in  ieder  punt  van  S bepaald,  en  onaf- 
hankelik van  de  richting:  de  fakulteitreeks  stelt  dus  in  S een  anali- 
tiese  funksie  voor. 
14.  Om  nu  het  in  ’t  begin  van  het  voorgaande  nummer  aangeduide 
vraagpunt  te  beslissen,  denken  we  ons  vooreerst  weei'  het  gevat  dat 
= 0 is,  dus  dat  de  bovenste  limiet  van  a„  voor  n = 00  equivalent 
is  met  n°;  verder  dat  de  grens  van  konvergentie  en  divergentie  van 
de  fakulteitreeks  (6)  gegeven  wordt  door 
R (x)  =z  8, 
waarbij  6 een  pozitief  getal  kleiner  dan  1 is.  We  hebben  nu 
bewezen  dat  het  getal  ).  in  ieder  geval  niet  groter  is  dan  d.  M.a.w. 
men  heeft 
lim  (1  — ty  (p  (t)  = 0 voor  R (.v)  f>  & . 
/=! 
Hieruit  volgt  dat  de  integraal  (1)  absoluut  konvergeert  voor 
R{x)f>8.  Tevens  is  die  konvergentie  uniform  in  ieder  gebied  aS  dat 
geheel  ligt  in  het  eindige  deel  van  het  halfvlak  R{x)  f>  8 d, 
waarin  d weer  een  willekeurig  klein  pozitief  getal  is.  Hetzelfde 
geldt  van  de  integraal 
1 
ƒ 
</)  (i)  ( 1 — t)^— 1 log  (1  — t)  dt, 
die  men  uit  (j)  kan  afleiden  door  onder  het  integraalteken  naar  x 
te  differentiëren.  Deze  integraal  stelt  dus  hel  differentiaalquotient 
