1392 
naar  x van  de  integraal  (1)  voor,  zodat  laatstgenoemde  een  in  dat 
gebied  nnnlitiese  fnnksie  van  x is.  ') 
Nu  zijn  de  twee  analitiese  funksies,  voorgesteld  dooi-  de  integraal 
(J)  en  de  reeks  (6),  zooals  is  aangetoond,  aan  elkaar  gelijk  in  lief 
absolute  konvergentiegebied  van  die  reeks,  gevormd  door  liet  lialf- 
vlak  Volgens  een  bekende  stelling  nit  de  fnnksieteorie 
kunnen  ze  dus  ook  in  het  (jehied  van  voor  uuiavde  lik  e konvergenüe 
6 C^R  {x)  < 1 
}det  van  elkaar  verschillen.  De  bedoelde  stelling  is  liiermee  in  het 
bepaalde  geval  A' = 0 aangetoond.  Denken  we  ons  vervolgens /' j>  ü 
en  de  grens  van  konvergentiegebied  en  di vergen tiegebied  van  de 
reeks  (6)  gegeven  door 
R {x)  = a'  + 6. 
dan  is  weer  / < A' zoals  insgelijks  in  de  vorige  mededeling 
bewezen  is,  en  dan  gelden  analoge  waarheden  als  zo  even  met  be- 
trekking tot  de  integraal  (J),  die  dus  ook  dan  in  het  voorwaardelik 
konvergentiegebied 
A'  + (9  < ii!  (;r)  < A'  + 1 
van  de  faknlteitreeks  aan  deze  gelijk  is.  Is  eindelik  a'  <]  0 en 
evenzo  de  grens  A'  -]-  O tussen  kon-  en  di\'ergentiegebied  van  de 
reeks,  dan  bestaat  de  integraal  (1)  in ’t  algemeen  slechts  voor ^ 0, 
maar  dan  vormt  de  reeks  in  de  konvergentiestrook 
a'  + (.r)  < 0 
de  analitiese  voortzetting  van  de  integraal.  Ook  kan  men  zeggen 
dat  dan  een  zeker  restdeel  van  de  reeks  (6)  in  het  hele  konvergentie- 
gebied van  die  reeks  door  een  integraal  van  de  vorm  (8) 
(i)  .......  (8) 
o 
wordt  voorgesteld. 
Keznrnerende  vitiden  we  dns  de  stelling;  Een  fakuleitreeks  loaar- 
van  het  konvergentiegebied  het  halfvlak  rechts  van  de  lijn  R{x)  = § is, 
mordt,  als  ^ >0,  in  een  eventueel  be.üa<tnde  strook  van  v o o r aar  del  i k e 
ko7i,v  er  geritte  door  dezelfde  integraal  van  de  vorm  i^ï)  voorge.steld  als  in 
het  gebied  van  absolute  konvergentie.  lsi<f^,  dan  geldt  hetzelfde 
verband  ten  aanzien  van  zeker  restdeel  van  de  reeks  en  een  integraal 
van  de  vorm  (8). 
h De  hier  in  ’t  kort  vermelde  waarheden  zijn  door  Pincherle  bewezen  in  zijn 
verhandeling  „Sur  les  fonctions  déterminantes”.  Ann.  Ec.  Norm.  (3)  XXll,  1905, 
p.  13 — 17.  Hun  analogie  met  degene  die  wij  in  ’l  vorig  nummer  vermeld  hebben, 
springt  in  ’t  oog. 
