1393 
15.  Ten  slotle  willen  we  een  kleine  verbetering  en  aanvulling 
geven  van  de  twee  slolalineas  van  N°.  6 in  de  tweede  mededeling. 
De  zinsnede;  ,,is  een  fnnksie  op  de  konvergenliesirkel  kontinn  en 
van  eindig  éeart,  of  heeft  een  afgeleide  van  zefeve  negatieve  orde  die 
eigenschap'  bevat  een  onjnistiieid,  omdat  daaruit  te  lezen  is,  als  zou 
het  wel  voor  kunnen  komen  dat  niet  zekere  afgeleide  die  eigenschap 
had.  Dit  is  niet  het  geval;  zodra  de  tloor  (14)  bepaalde  karakteristiek 
7.'  van  de  koeftisienten  in  de  machtreeksontwikkeling  van  een 
funksie  (f(t)  eindig  is,  heeft  die  fnnksie  steeds  een  • afgeleide  van 
zekere  orde  — lo,  die  de  bedoelde  eigenscha[)  heeft,  en  wel  is  altijd 
UJ  = >.'  -j-  1 . 
Verder  kan,  zoals  Hadamard  aantoont’),  een  funksie  </(/)  die  op 
de  hele  sirkelomtrek  van  de  orde  lo  is,  en  op  een  deel  daarvan  dat 
het  punt  t = 1 bevat  van  lagere  orde  o»^,  steeds  ges[)litst  worden  in 
twee  funksies  en  <f^{t),  waarvan  de  eerste  regulier  is  in  t=\ 
(en  van  de  orde  to  o|)  de  hele  sirkelomtrek),  en  de  andei-e  van  de 
orde  op  de  hele  sirkelomtrek  Volgens  de  stelling  die  we  in  het 
onderhavige  nummer  6 bewezen  hebben  kan  nu  de  integraal 
J d)  dt, 
o 
c.q.  een  integraal  me.t  voor  R{x)  f>  u> — 1 = 7J  in  een  faknlteif- 
reeks  worden  ontwikkeld.  Verder  kan  de  integraal. 
J q,  (0  F-l  dt 
0 
c.q.  een  integraal  met  qf'^Kt)  in  ieder  geval  voor  R{x)  cu„  in  een 
fakulteitreeks  worden  ontwikkeld.  Dus  kan  de  integraal  (1),  die  de 
som  is  van  deze  twee  integralen,  of  een  integraal  met  (^"{0  in  een 
zodanige  reeks  worden  ontwikkeld  voor 
R {x)  O oj  „ of  R (x)  O X, 
al  naarmate  het  eerste  of  het  tweede  getal  de  grootste  waarde  heeft. 
In  het  eerste  geval  kon  vergeert  de  reeks  voorwaardelik  voor 
a)„  R {x)  A'  ] , 
in  ’t  laatste  voor 
< R (x)  < A’  + 1. 
Iti  alle  gevallen  kunnen  we  dus  deze  stelling  uitspreken  ; 
Is  O)  de  orde  van  (p  (t)  op  de  hele  konvergentiesirkel,  dus  7'  — lo — 1 
q „Essai  sur  l’étude  des  fonctions”,  Journ.  de  Malli.,  1892,  p.  172. 
9ü 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVII.  A”.  1918  19. 
