j394 
de  karakteristiek  van  zijn  koeffisienten,  en  de  orde  in  het  punt 
t =z  1 van  die  sirkel,  dan  kan  de  integraal  (1)  [resp.  de  integraal  {8)) 
in  een  fakulteitreeks  worden  ontwikkeld  voor  zodanige  waarden  van 
X dat  tegelijkertijd  aan  de  heide  voorwaarden 
R (x)  j>  X en  R (x)  a>„ 
voldaan  is. 
We  kunnen  ecliler  niel  zeggen  dat  deze  stelling  «i  ^'on/M'an 
die  van  Niki.sp^n,  omdat  liet  niet  v^'^aar  is  dat  nooit  kon vei-gentie  van  de 
fakulteitreeks  plaats  vindt  voor  R{x)  Beschouw  bv.  de  funksie 
van  Wb'jkrstrass 
V'  (0—1  + ’h  t"*  -t-  O -p  -b  . 
Deze  heeft  de  konvergentiesirkel  als  coupure,  en  wel  omdat 
feitelik  alle  boogdelen  daarvan  gelijkwaardig  zijn,  zoals  blijkt  uit 
de  substitutie 
2n  ih 
waarin  k en  h willekeurige  gehele  getallen  zijn.  De  orde  a>„  in  het 
punt  t = 1 kan  dus  geen  andere  zijn  dan  die  op  de  hele  sirkel- 
omtrek  en  deze  is  gelijk  aan  1,  omdat  de  karakteristiek  A'  van  de 
koeffisienten  nul  is.  De  grootheid  A is  echter  eveneens  gelijk  aan 
nul  en  de  met  (p  {t)  korresponderende  fakulteitreeks  konvergeert  ook 
voor  R{.x)  0,  en  is  voor  al  deze  waarden  van  gelijk  aan  de 
integraal  (!)')• 
b De  konvergentie  van  de  fakulteitr  eeks  is  in  dit  geval  ook  in  de  strook  0 < i^tx)  < 1 
absoluut,  wegens  de  grote  afstand  tussen  de  koeffisienten  die  van  nul  verschillen. 
Als  we  dus  in  ’t  voorgaande  voortdurend  gesproken  hebben  van  eventueel  voor- 
waavdelike  konvergentie  voor  i2(a")<A'  + l,  dan  is  dit  in  't  algemeen  bedoeld. 
