Wiskunde.  — De  Heer  Lorkntz  biedt  een  mededeling  aan  van  de 
Heer  H.  B.  A.  Bockwinkf.l:  „Over  de  noodzakelike  en  vol- 
doende voorwaarde  voor  de  ontwikkeling  van  een  fv.nksie  in 
een  Binoiniaalkoefjisientenreeks  ’ . 
(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Kluyver). 
PiNCHKRLK  lieeft  een  noodzakelike  en  \’oldoende  voorwaarde  \'Oor 
de  ontwikkeling  van  een  fnnksie  in  een  l)inomiaalkoeftisientenreeks 
(B.  K.  R.)  gegeven  ').  Deze  luidt  als  volgl : 
Zal  een  analitiese  fanksie  to(.«)  in  een  B.  K.  H.  te  ontwikkelen  zijn , 
d.  i.  in  een  reeks  van  de  gedaaiite 
(1) 
o 
dan  moet  to{x)  ko  e f fisient  f nnks  ie  {fonction  coefjiciente)  zijn 
van  een  andere  analatiese  fnnksie  (p{t),  die  voor  t = oo  re(/nlier  en 
gelijk  nid  is  en  waarvan  de  singulariteiten  binnen  een  sirkel  (1,1), 
met  middelpunt  t=  \ en  straal  1,  of  op  de  omtrek  daarvan  liggen, 
mits  in  ’t  laatste  geval  de  orde  van  (fit)  op  genoemde  omtrek,  in  de 
door  Hadamard  gedefnieerde  zin,  eindig  of  negatief  oneindig  is'^). 
Onder  een  koeffisientfunksie  a)(.r)  van  een  analitiese  fnnksie  (p{t) 
van  de  aangegeven  aard  verstaat  P[nchfri,e  een  fnnksie  die,  al  naai- 
de orde  van  (f\t),  op  min  of  meer  eenvoudige  wijze  uit  deze  laatste 
kan  worden  afgeleid.  De  betrekking  tussen  beide  funksies  is  echter 
altijd  zó  dat  omgekeerd  <f{t),  die  door  Pinchfrlr  de  voortbrengende 
funksie  (fonction  génératrice)  van  ufx)  genoemd  wordt,  uit  *o(.r)  volgt 
door  de  vergelijking 
o 
Dat  wil  zeggen:  de  koeffsienten  van  de  reeks  naar  tiegatieve 
gehele  machten  van  t,  waarin  (p{t)  in  de  omgeving  van  t = co  kan 
b S.  Pincherle,  „Sur  les  fonctions  déterminantes”,  Annal.  de  l’Ecole  Normale,  1905. 
2)  Een  sirkel  met  middelpunt  a en  straal  r duiden  we  aan  door  {y.,  r). 
90* 
