j39B 
ontwikkeld  worden,  zijn  gelijk  aan  de  waarden  van  <o(.r)  voor  gehele 
pozitieve  waarden  van 
De  vraag  is  nu,  hoe  men  van  een  gegeven  fnnksie  nitmaken 
zal  of  hij  in  een  B.  K.  R.  ontwikkeld  kan  worden.  Deze  vraag 'ivordt 
door  de  stelling  van  Pinchkrle  jiiet  beantwoord,  tenminste  niet  op 
enigermate  eenvoudige  wijze,  zoals  uit  het  volgende  blijkt.  Men 
zal  vooreerst  uit  de  gegeven  fnnksie  a>(.i;)  de  reeks  (2)  atleiden. 
Daarna  moet  men  onderzoeken  of  de  hierdoor  voorgestelde  fnnksie 
^{t)  de  vereiste  eigenschappen  heeft : regulier  te  zijn  buiten  de  sirkel 
(1,1)  en  op  de  omtrek  daarvan  van  eindige  orde.  Men  zal  dus  de 
genoemde  reeks  trachten  te  transformeren  in  een  andere  naar 
negatieve  gehele  machten  van  t — 1 
fp  d)  = V). 
{t—\)n+r 
(3) 
Het  verband  tussen  de  koeffisienten  van  beide  reeksen  wordt, 
zoals  bekend  is,  geleverd  door  de  beide  vergelijkingen 
— to  (7i  4'  1) 
C) 
co  (n)  + . . . + (_1)«  co  (1)  = A»  [co  (1)1  4 
(4) 
en 
co  («  + 1)  = 4-  ^ C,  + . . . + c„  . . . . (4') 
Met  behulp  van  (4)  moet  men  nu  nagaan  of  de  reeks  (3)  buiten 
de  sirkel  (1,1)  konvergeert,  en  of  verder  de  karakteristiek  'd  van  de 
koeffisienten  c„,  die  bepaald  wordt  door  de  gelijkheid 
d = Hm 
log  I Cn  I 
log  n 
(5) 
niet  pozitief  oneindig  groot  is;  het  laatste  is  nl.  de  voorwaarde  er 
voor  dat  if{t)  op  de  omtrek  van  (1,1)  van  eindige  orde  is. 
De  relatie  (4)  is  echter  tamelik  ingewikkeld,  zodat  het  heel  lastig, 
zo  niet  ondoenlik  kan  worden,  het  laatstgenoemde  onderzoek  uit  te 
voeren.  Maar  gesteld  al  dat  dit  nog  gaat,  en  dat  d van  -f-  oo  ver- 
schilt. Dan  moet  nog  worden  nagegaan  of  de  gegeven  funksie  (x){x) 
nu  werkelik  ook  de  koeffisientfunksie  van  (f{t)  is.  Want  er  zijn 
talrijke  funksies  die  tot  dezelfde  voortbrengende  funksie  (f{t) 
aanleiding  geven,  nl.  al  degene  die  bevat  zijn  in  de  vergelijking 
£i{x)  = oi  (cc)  + F (x) 
waarin  i'^(a’)  een  funksie  is  die  voor  gehele  pozitieve  waarden  van 
b Hiermee  wordt  het  n®  verschil  van  ^(x)  op  de  plaats  :c  = l,  bij  argument- 
toename  Ax  = l,  bedoeld. 
