1897 
X nul  wordt.  Het  is  dus  nodig,  de  definitie  van  Fincheklic  voor  de 
koeffisientfunksie  te  raadplegeji,  en  deze  op  de  verkregen  <;  [t)  toe 
te  passen  en  te  zien  of  tu  (.(•)  er  weei'  uitkornt.  Maar  ook  dit  is 
gernakkeliker  gezegd  dan  gedaan.  Als  de  door  (5)  bepaalde  karak- 
teristiek kleijier  is  dan  — 1,  dan  is  ip  (t)  ook  op  de  om  trek  van 
de  sirkel  (1,1)  eindig  en  doorlopend.  De  koeffisientfunksie  wordt 
dan  gedefinieerd  door  de  integraal 
• <"> 
n,i, 
langs  de  ointrek  \’an  genoemde  sirkel,  en  in  het  halfvlak  van  x 
rechts  van  de  imaginaire  as  is  deze  integraal  bij  bepaalde  afspraken 
omtrent  de  waarde  van  B.  K.R.  (l  i.  Men  moet 
dus  onderzoeken  of  hij  tevens  gelijk  is  aan  co  (x).  Dit  kan  wel  weer 
lastig  zijn.  Maar  bepaald  moeilik  wordt  hef,  als  1'  )>  — 1 is, 
vooral  als  het  \'erschil  met  ~ \ wat  erg  groot  is.  Want  de  koeffi- 
sientfunksie  van  cp  {t)  wordt  in  dat  geval  door  middel  van  een  veel- 
j term,  die  uit  een  zeer  groot  aantal  termen  bestaat,  in  verband 
j gebracht  met  die  van  een  andere  voortbrengende  fnnksie,  waarvoor 
I — 1 is. 
j Men  is  dus  wel  gerechtigd  tot  de  vraag,  of  het  mogelik  is,  een- 
I voudiger  karaktereigenschappen  Ie  vinden  die  volcloende  zijn  voor 
I de  ontwikkeling  van  een  funksie  in  een  B.  K.  R.  Dit  is  inderdaad 
I het  geval  en  zelfs  kan  van  de  gex  onden  eigenschappen  wel  zo  onge- 
j veer  gezegd  worden  dat  ze  noodzakelik  zijn  ').  We  kunnen  n.l.  de 
! volgende  stelling  bewijzen  : 
; Is  een  fnnksie  co  [x)  in  iiet  eindige  deel  van  een  halfvlak  R (a')  > y ’) 
I (y  reëel)  regulier,  en  voldoet  hij  in  dat  hele  gebied,  dns  ook  in  ’t 
, oneindige,  aan  de  voorwaarde 
co  (x)  \ M \ (x  bf  I (7) 
b Ter  vergelijking  merken  we  op  dat  voor  de  onlwikkelbaarheid  in  fakulteit- 
reeksen 
X (.r  + 1)  . . . {.r  -f  n) 
0 
een  door  Nfelsen  opgestelde  en  door  IbNCHERLE  vereenvoudigde  noodzakelike  en 
voldoende  voorwaarde  geldt,  die  vee!  overeenkomst  heeft  met  degene  die  Pincherle 
voor  de  B.  K.  R.  heeft  gegeven.  Maar  voor  fakulteitreeksan  lukt  het  niet,  om  een- 
voudige karaktereigenschappen  aan  te  geven,  die  voldoende  en  ook  noodzakelik 
zijn,  om  een  funksie  er  in  te  kunnen  ontwikkelen.  De  enige  eenvoudige  voldoende 
voorwaarde  hiervoor  is,  dat  een  funksie  in  het  oneindige  regulier  en  gelijk  nul  is. 
Maar  deze  voorwaarde  is  verre  van  noodzakelik. 
b R (x)  betekent  het  reële  deel  van  x. 
