1398 
waarin  M een  pozitief,  I en  b reële  getallen  zijn,  het  laatste  zodanig 
(lat  + y ^ O j,  en  a een  kompleks  getal  op  de  omtrek  van  de  sirkel 
(1,1),  veranderlik  met  het  argument  if?  van  x — y,  zodanig  dat  het 
argument  n van  a gelijk  is  — ip  en  men  dus  heeft 
<(  = 2 cos  lp  (8) 
dan  kan  to  (.c)  stellig  in  het  gebied 
R{x)yi-^  d-h,  (^  = reëel>r)  ....  (9) 
in  de  B.  K.  R. 
o 
ontwikkeld  ivorden,  indien  I d — k > 7^  anders  in  het  gebied 
R {x)  > y. 
De  spesiale  waaide  —ip  van  liet  argument  n van  a is  zó,  dat  de 
uitdrukking  a^~'^,  bij  gegeven  x — y,  een  zo  groot  mogelike  modulus 
heeft,  vergeleken  met  die  voor  andere  a-waarden  op  de  omtrek  van 
de  sirkel  (1,1).  Wanneer  de  ongelijkheid  (7)  geldt  bij  vaste  a op 
deze  om  trek,  dan  is  ontunkkeling  mogelik  in  hel  gebied 
R{x)j>l-\- ........  (9') 
indien  / + — 1 > y,  en  anders  meer  in  R (x)  > y. 
De  in  bovenstaande  stelling  bevatte  voldoende  voorwaarde  voor 
de  ontwikkeling  van  een  funksie  in  een  B.  K.  R.  schijnt  inderdaad 
zeer  eenvoudig.  Neemt  men  een  funksie  die  voorgesteld  kan  worden 
door  de  gelijkheid 
w (x)  = (x  -|-  b)kc^p{x)  ......  (11) 
waarin  c een  vast  getal  is  binnen  de  sirkel  (1,1)  en  p (.■r)  een  funksie 
die  in  R (x)  > y binnen  eindige  grenzen  blijft,  dan  is  aan  de  onge- 
lijkheid (7)  voor  een  algebrales  willekeurig  kleine  waarde  van  I 
voldaan  en  dus  ontwikkeling  van  m (x)  in  een  B.  K.  R.  mogelik  in 
het  gebied  R{x)>y-  Voor  c=i  levert  (11)  een  uitdrukking  die 
doet  zien,  dat  alle  in  R(x)>y  reguliere  funksies.  die  in ’t  oneindige 
verdwijnen,  in  dat  gebied  in  een  B.  K.  R.  kunnen  worden  ontwik- 
keld; verder  alle  funksies  die  voor  x = (x>  oneindig  groot  worden 
van  lagere  orde  dan  zekere  eindige  macht  van  x,  dus  ook  alle 
wortel-  en  logaritme  uitdrukkingen. 
De  manier  waarop  we  lot  bovengenoemde  stelling  gekomen  zijn 
is  in  beginsel  analoog  met  die  waarop  men  in  de  funksieteorie  de 
')  Dit  dient  om  er  voor  te  zorgen  dat  {X  -|-  bp  niet  eventueel  een  singulier  punt 
heeft  in  R(x)y'y. 
2)  Deze  reeks  is  ter  wille  van  de  algemeenheid  in  plaats  van  (1)  genomen. 
