K^99 
oniwikkeling  van  een  fnnksie  in  een  niaclitreeks  aileidt ; liij  berust 
op  toepassing  van  de  integraalstelling  van  Cauchy.  Volgens  deze 
heeft  men 
(O  (;c) 
1 l'oj  (z)  dz 
2jiiJ  z — SC 
W 
(12) 
waarbij  de  integraal  genomen  wordt  langs  een  gesloten  kromme  W, 
waarbinnen  en  waarop  tü(.r)  regulier  is,  en  die  het  punt  z = x 
insluit.  Wanneer  men  uit  deze  integraal  een  ontwikkeling  naar 
pozitieve  gehele  machten  van  x — a wil  atleiden,  waarin  a een  getal 
binnen  W is,  dan  gaat  men  uit  van  de  bekende  ontwikkeling  met 
1 
bekende  restterm  van  in  zulk  een  reeks.  Zo  bereikt  men  ook 
Z X 
het  hier  gestelde  doel,  wanneer  men  gebruik  maakt  van  de  bekende 
B.K.R.  met  bekende  restterm  waaiin  men  de  laatstgenoemde  fnnksie 
kan  ontwikkelen,  nl. 
1 _ ■ • .(.r— — mfl)  jx  — d)  • • • (^  — li— n+1) 
2; — X {z—^)...(z  — d—ni)  {z — d)...{z  — l3 — n-|-l)  — x 
o 
Substitueert  men  deze  uitdrukking  in  de  integraal  (12)  en  laat 
men  de  integratieweg,  behalve  om  c = x,  ook  om  de  punten  c = /?, 
^ -j- 1 , . . . ^ 71 — 1,  heen  lopen,')  dan  vindt  men  de  uitkomst 
U — 1 
(O  (j;)  = ^ ^ ^ A’"  (O  ((?)  ~f  ^11  • • • . (lil) 
o 
met 
2zri  J (z  — /^)  . . . {z — — n f 1)  z — x 
ir 
(13') 
Formule  (13)  is  de  gewone  interpolatieformule  van  Nkwton,  met 
toevoeging  van  een  restterm  en  geldig  voor  alle  kom plekse  .r- waarden 
die  binnen  W liggen. 
Wil  men  aan  de  eis  voldoen  dat  alle  pnnten  z = 
binnen  de  integratiekromme  TF  vallen,  dan  zal  deze  in  ’t  algemeen 
met  toenemende  waarden  van  n gewijzigd  moeten  worden.  Het  is 
nu  de  vi’aag  om  IF  zo  gunstig  mogelik  te  kiezen,  d.w.z.  zó,  dat  de 
')  Sluit  men  enige  punten  /?,  /?  + 1,  . . .,  uit,  dan  ki  ijgt  men  een  uitkomst  waar 
van  de  nadere  beschouwing  tot  de  zogenaamde  ?^^^iontwikkelingen  in  B.  K.  R.  aan- 
leiding geeft,  die  door  Pincherle  op  elementaire  wijze  in  Rendic.  d.  R.  Accad. 
d.  Lincei,  1902,  2^  Sem.  behandeld  zijn. 
