1400 
i-esttenn  (13')  bij  toenemende  n tot  nul  nadert,  maar  toch  het 
funksionele  ensemble  van  funksies  (o(.v)  waarvoor  dat  nul  woi'den 
plaats  vindt,  zo  uitgebreid  mogelik  is.  Gaat  men  nu  van  de  onge- 
lijkheid (7)  als  norm  voor  deze  funksies  uit,  waarbij  het  getal  a 
voorlopig  als  onbekend  beschouwd  wordt  en  het  getal  y,  om  een 
bepaald  geval  te  hebben,  gelijk  aan  nul  genomen  (zodat  d O 0 is),  ^ 
dan  vindt  men  leu  slotte  na  een  tamelik  uitgebreid  maar  prinsipieel  ! 
niet  moeilik  onderzoek:  1°.  dat  de  gunstigste  integratieweg  een  sirkel  I 
is,  die  door  de  oorspi'ong  gaat  en  tot  middelpunt  z = n heeft;  2". 
dat  voor  a een  kompleks  getal  genomen  kan  worden  gelegen  op  de 
omtrek  van  de  sirkel  (1,1),  met  de  biezonderheden  over  de  geldig- 
heidsgebiedeu  die  al  in  de  uitgesproken  stelling  vermeld  zijn. 
Op  te  merken  valt  nog  dat,  in  geval  in  formule  (11)  het  getal  c 
reëel  en  gelijk  aan  of  kleiner  dan  1 is,  een  yas’fó  integratieweg  voor 
de  restintegraal  (13')  kan  worden  aangenomen,  zodra  het  getal  n 
een  zekere  grootte  bereikt,  en  wel  de  imaginaire  as.  Het  bewijs  dat 
Urn  Rn  — 0,  voor  n oo,  is  dan  zeer  gemakkelik,  zodat  de  boven 
afzonderlik  vermelde  gevallen  van  ontwikkel  baarheid  in  een 
B.K.R.  op  koj^te  wijze  uit  de  integraal  van  Caüchy  kunnen  worden 
afgeleid. 
Wat  nu  verder  de  vraag  beti'eft,  in  hoeverre  de  ongelijkheid  (7) 
noodzakelik  is  vooi*  de  ontwikkeling  van  een  funksie  in  een  B.K.R., 
door  de  manier,  waarop  de  voldoende  voorwaarde  is  afgeleid,  heeft 
men  w'el  de  overtuiging  verkregen  dat  het  door  deze  voorwaarde 
omvatte  ensemble  van  ontwikkelbare  funksies  zo  groot  inogelik  is. 
Om  dienaangaande  zekerheid  te  krijgen  is  het  nodig  te  onderzoeken, 
hoe  een  funksie,  die  door  een  B.K.R.  wordt  voorgesteld,  zich  in  het 
konvergentiegebied  van  die  reeks  gedraagt.  Dit  onderzoek  kan  worden 
uitgexoerd  met  behulp  van  de  in  de  stelling  van  Pincherle  bevatte 
uitspraak  dal  een  B.K.R.  noodzakelik  een  koeffisient funksie  voorstelt, 
tenminste  in  het  gebied  van  absolute  konvergentie  van  die  reeks, 
want  daaiwoor  alleen  bewijst  Pincherle  zijn  stelling. 
We  nemen  eenvoudigheidshalve  voor  de  B.K.R.  de  oorspronkelike, 
door  Pincherle  beschouwde  vorm  (1)  aan.  Is  de  karakteristiek  P' van 
de  reekskoeffisienten  c„  kleiner  dan  — 1,  dan  kan,  zoals  gezegd  is, 
de  B.K.R.  in  het  halfvlak  Ri^x)  > 0 door  de  integraal  (6)  worden 
voorgesteld.  Men  kan  nu  bewijzen  dat  deze  integinal  in  het  genoemde 
gebied  aan  de  voorwaarde  (7),  met  y = 0 voldoet,  *en  dat  daarbij 
de  eksponent  / de  voorwaaide 
<C  — '2  + (14) 
bevredigt,  waarin  d een  nnllekeuvig  klein  [lozitief  getal  is.  Deze  voor- 
waarde kan  nog  gepresizeerd  worden,  wanneer  men  een  eigenschap 
