1401 
van  de  fiinksionele  operatie  /,  waardoor,  naar  de  opvatting  van 
PiNCHEKLE,  de  voortbrengende  fnnksie  (f{t)  in  de  koeftisientfnnksie 
v){x)  overgaat,  enigszins  nitbreidt,  we  bedoelen  de  eigensclmp 
/ 1'; " ' (<)l  I [(-■  v (01  • 
r{x  — r) 
ilie  PiNCHEHLE  (l.c.  p.  80)  vermeldt  voor  liet  geval  dat  /■  geheel, 
pozitief  is.  Stelt  men  r = — h en  vervangt  men  door  (/■(/);  — 
dan  gaat  deze  formule  over  in 
Vt-<r  (01 
r{x  + ff) 
De  laatste  gelijkheid  blijkt  nu  werkelik  ie  voov  loillekeurige 
gozitieve  waarden  van  «'),  indien  men  voor  de  afgeleide  van  wille- 
keurige negatieve  orde  — n \’an  een  fnnksie  de  definitie  van  Riemann 
aanneemt,  die  men  voor  het  hier  aanwezige  geval  dat  een  omgeving 
van  t = cc  beschouwd  wordt,  kan  uitdrukken  dooi'  de  identiteit 
(—D-D-- 
<r 
1 
(f  (u)  du  . 
(16) 
t 
Aangezien  als  gebied  van  t en  u beschouwd  wordt  het  deel  van 
het  komplekse  vlak  buiten  .zekere  sirkel  met  middelpunt  1,  doet 
men  het  beste,  als  integratieweg  tussen  u = t en  n = oc  te  denken 
de  halfrechte,  met  beginpunt  ii  = t,  waarvan  het  verlengde  door 
= 1 gaat.  De  grootheden  u — t en  — 1 hebben  dan  hetzelfde 
argument  en  (?( — t)'-^  \ {u — ïy-  is  reëel.  Bij  deze  afs|)raken  heeft  men 
de  reeksontwikkeling 
(_„1).  IJ 
g in 
(7-1)*  ^ 
/ ’ (^^  + 1 ) Cn 
r(,*+l+u)  (<-l)-+l 
(17) 
o 
zodat  de  afgeleide  xan  negatieve  orde  — c.  van  de  uitdrukking 
ffit}  : (t — Vfj  evenals  (/70  zelf,  regulier  en  gelijk  aan  nul  is  voor 
t — cc.  De  karakteristiek  is  echter  een  bedrag  kleiner  en  dit  maakt 
dat  men  met  behul|)  van  formule  (15)  de  koeffisientfunksie  ai(x)  van 
een  voortbrengende  f'uuksie  (f  {t)  met  karakteristiek  — 1 kan 
uitdrukken  in  een  xoortbrengende  fnnksie  waarvan  rle  karak- 
teristiek willekeurig  kleiner  is  dan — 1.  Men  konstrueert  daartoe 
</,(0  zodanig  dat  de  gegeven  fnnksie  f({t)  de  afgeleide  van  zekere 
negatieve  orde  — <t  van  '•  is,  en  het  getal  a kiest  men 
in  een  verzameling  van  pozitieve  waarden  waarvan  de  bovenste 
grens  gelijk  is  aan  het  bedrag  dat  kleiner  is  dan  — 1.  M.  a.  w. 
is  (f{t)  weer  door  (3)  gegeven,  dan  stelt  men 
’)  Het  bewijs  hiervoor  zal  worden  medegedeeld  in  het  Verslag  van  de  a.s. 
September  vergadering. 
