1403 
(0  = - i)-i 
die  een  karakteristiek  A'  — J kleiner  dan  — J heeft,  zodat  de  bijbe- 
horende koeftisientfiinksie  coj  (a’)  in  het  gebied  R X — J -|-  tfi 
aan  de  ongelijkheid 
I (^)  I <C  I ^ a-^'  — 0 — 1 I 
met 
/ A — d,  “h  d 
voldoet.  De  koelTisientfnnksie  w (x)  van  <p  (t)  staat  niet  laatstgenoemde 
in  verband  door  middel  van  de  formule  M 
u>  (.?;)  = A [(.«  — 1)  CU,  (a’  — 1)] 
en  daaruit  volgt  dat  w {x)  juist  weer  in  het  gebied  (20)  aan  de  onge- 
lijkheid (22)  met  voor  / de  ongelijkheid  (23)  voldoet.  Op  deze  manier 
kan  men  achtereenvolgens  voor  de  intervallen  (0,1),  (1,2)...  van 
A'  dezelfde  ongelijkheid  aantonen. 
Bevredigt  <u  (.r)  deze  ongelijkheid  voor  zekere  waarde  van  /,  dan 
blijkbaar  voor  alle  grotere  waarden.  Er  is  dus  een  benedenste  grens 
van  zulke  waaiden,  maar  het  kan  zijn  dat  deze  niet  voor  I 
in  (22)  gesubstitueerd  mag  worden.  In  plaats  daarvan  kunnen  we 
evenwel  schrijven 
(O  (x)  ^ (x  -f-  (24) 
met  de  betekenis  dat  de  ongelijkheid  (22)  geldt  voor  iedere 
we  kunnen  (24)  een  eqnivalentievergelijking  noemen,  en  zeggen  dat 
io  [x)  equivalent  is  met  het  rechterlid  daarvan.  De  eksponent  /„  vol- 
doet dan,  daar  en  d,  willekeurig  klein  waren,  aan  de  voorwaarde 
/,  < A - 4 . . . (25) 
De  stelling,  die  op  de  noodzakelike  voor  waarde  voor  ontwikkel- 
baarheid  in  een  B.  K.  R.  betrekking  heeft,  kan  dus  als  volgt  in 
woorden  gebracht  worden  : 
Een  B.  K.  R.  van  de  vorm  (1)  stelt  in  ieder  halfvlak  binnen  het 
(jehied  van  zijn  absolute  konvergentie : /f(.r))>A,  een  fnnksie  oj  (x) 
voor  die  de  eqidvalentievergelijking  (24)  bevredigt ; de  eksponent  f 
voldoet  daarbij  aan  de  ongelijkheid  (25). 
Vergelijkt  men  nu  deze  stelling  met  degene  die  op  de  voldoende 
voorwaarde  betrekking  heeft,  dan  ziet  men  vooreerst  tussen  de 
majorantwaarden  (7)  en  (22)  een  volkomen  overeenstemming  in  vorm. 
Deze  majorantwaarden  zijn  dus  zowel  noodzakelik  als  voldoende. 
Wat  verder  meer  presies  de  geldigheidsgebieden  betreft,  de  ongelijk- 
heid (9)  gaat  hier,  daar  f — I is,  over  in  R{x)j>l-\-^,  of  ook  in 
')  PiNCHERLE,  1.  C , p.  64. 
