1404 
als  we  /,  weer  de  benedenste  grens  van  /-waarden  noemen,  die 
voor  de  gegeven  fnnksie  in  aanmerking  komen.  Uit  (25)  volgt  voor 
liet  absolute  konvergentiegebied  presies  dezelfde  ongelijkheid.  Daar 
het  gebied  van  eventueel  voorwaardelike  konvergentie  zich  hoogstens 
over  een  strook  ter  breedte  1 links  vaji  het  absolute  knnvergentie- 
gebied  uitstrekt,  laat  het  door  ons  uitgevoerde  onderzoek  de  moge- 
likheid  open  dat  een  B.  K.  R.  soms  ook  nog  in  een  strook  bepaald  door 
of  iu  een  onderdeel  daarvan  een  fnnksie  voorstelt  die  aan  de  voor- 
waarde f24)  voldoet.  Om  dienaangaande  zekerheid  te  krijgen,  zou 
men  een  onderzoek  moeten  instellen  naar  de  wijze  waarop  een 
fnnksie  die  door  een  B.  K.  R.  wordt  bepaald  zich  gedraagt  in  het 
gebied  \'an  eventueel  voorwaardelike  konvergentie.  Tot  zo’n  onder- 
zoek zijn  we  nog  niet  gekomen,  maar  nu  kunnen  we  alvast  wel 
inzien  dat  dit  de  kloof,  die,  wat  de  geldigheidsgebieden  betreft,  als- 
nog tussen  voldoende  en  noodzakelike  voorwaarde  bestaat,  niet 
geheel  zou  dempen.  Ten  eerste:  Voldoet  een  fnnksie  o)  (x)  aan 
equivalentievergelijking  (24)  bij  vaste  a op  de  omtrek  van  de  sirkel 
(1,1),  en  met  een  zekere  minirnumeksponent  /„,  dan  voldoet  hij. 
wegens  hetgeen  omtrent  de  uitdrukking  ^ <7*-/,  onmiddellik  na 
formule  (10)  is  opgemerkt,  ook  aan  diezelfde  ongelijkheid,  wan- 
neer a op  de  aangegeven  manier  met  het  argument  i(:>  van  ,v  langs 
genoemde  omtrek  verandert.  De  ekspoiient  /„  kan  daarbij  echter  niet 
verkleind  worden,  want  die  komt  in  ieder  geval  voor  tf?  = — or  te 
pas,  als  u het  argument  van  het  oorsproid^elike  vaste  getal  a is. 
De  uitspraak  die  bij  de  ongelijkheid  (9')  behoort  leert  evenwel,  dat 
in  dit  geval  ontwikkeling  van  lo  {x)  in  een  B.  K.  R.  mogelik  is  voor 
ld  (-r)  )>  /»•  De  fnnksie 
o 
waarvoor  a = 2,  en  /„  = 0 is,  levert  hieiwan  een  voorbeeld,  want 
de  ontwikkeling  geldt  inderdaad  voor  //(«))>  0,  en  deze  is  voor- 
waardelik  konvergent  zolang  E{x)<\.  Hieruit  volgt  dat  men  nooit 
als  noodzakelike  voorwaarde  /f  (a-)  > /„  + 2 kunnen  vinden,  ter- 
wijl onze  stelling  over  de  voldoende  voorwaarde  het,  zonder  nadere 
spesializatie,  niet  verder  brengt  dan  tot  de  uitspraak  dat  ontwikke- 
ling mogelik  is  in  het  gebied  dat  door  die  ongelijkheid  bepaald  wordt. 
In  de  tweede  plaats  geldt  laatstgenoemde  uitspraak  ook  nog  slechts 
als  i-o{x)  in  het  gebied  R{x)  j>  /„  -J-  è geen  singuliere  punten  in  het 
