1405 
eindige  heeft;  anders  komt  voor  dit  laatste  gebied  datgene  in  de 
plaats  waar  (ü(.r)  reguliei'  is  en  dat  we  bepaald  hebben  door  de 
ongelijkheid  R(x)  y.  Dus  leert  <le  stelling  over  de  nooclzakeJike 
voorwaai'de  dat  in  het  absolute  konvergentiegebied  Zi*(.r)  j>  ^ i«, 
maar  omgekeerd  is  het  niet  waar  dat  in  het  door  deze  ongelijkheid 
bepaalde  gebied  ook  stellig  absolute  konvergentie  van  de  betreffende 
B.K.R.  plaats  vindt.  Een  eenvoudig  voorbeeld  hiervan  levert  de  funksie 
1 
CU  (.v)  — 
X 
op.  Hiervoor  is  /,  = — oo,  terwijl  de  funksie  toch  slechts  in  het 
regulariteitsgebied  ^ 0 in  een  B.K.R.  van  de  vorm  (1)  kan 
ontwikkeld  worden. 
Uit  deze  opmerkingen  blijkt  wel  dat  men  de  kloof,  die  tussen  de 
j hier  gegeven  noodzakelike  en  voldoende  voorwaarde  nog  blijkt  te 
j bestaan,  slechts  zou  kunnen  dempen,  door  voor  beide  voorwaarden 
i meer  gedetailleerde  stellingen  uit  Ie  spreken.  M.a.w.  het  zou  moeten 
j gelukken  het  funksionele  ensemble  van  alle  funksies  die  aan  (24) 
I voldoen  door  spesiale  karakterizeringen  te  splitsen  in  groepen ; evenzo 
i het  ensemble  van  binomiaalkoeffisientreeksen,  zodanig  dat  tussen  beide 
I kategorieën  van  groepen  een  één-aan-éénkorrespondentie  bestond, 
i waarbij  funksies  van  de  groep  k ontwikkelbaar  waren  in  reeksen 
i van  de  groep  k en  in  geen  andere.  Maar  het  probleem,  om  zulke 
I karakterizeringen  te  vinden,  zal  wel  zeer  moeilik  zijn,  aangezien  er 
' toe  behoort,  om  uit  het  karakter  van  de  reekskoeffisienten  het 
‘ karakter  van  de  door  die  reeks  voorgestelde  funksie  af  te  leiden, 
j iets  wat  voor  de  meer  bekende  machtreeksen  pas  in  de  laatste  tijd 
; enigermate  gelukt  is. 
