1071 
aan  de  singuliere  stralen  met  eiken  straal  komen  de  stralen 
van  een  tot  \Cy,  behoorenden  waaier  overeen- 
De  doorsnede  der  complexen  c«  en  'c^\  is  een  bilineaire  con- 
gruentie, waarvan  de  stralen  zijn  toegevoegd  aan  den  sti-aal  t~c. 
Dus  is  de  rechte  c een  hoo/'ilstraal ; inderdaad  kan  men  twee  wille- 
kem-ige  punten  \'an  e als  doorgangen  P en  Q bescliouwen. 
Alle  stralen  t door  een  punt  P^Q~C  van  c zijn  toegewezen 
aan  den  straal  t',  die  P'  en  Q'  verbindt;  dus  is  ook  t een  hoofd- 
straal.  Als  6'  zich  langs  c verplaatst,  beschrijven  P'  en  Q'  twee 
projectieve  pnntenreeksen  op  Ca  en  c‘^3;  P' Q'  beschrijft  dan  een 
regelschaar  (6•)^  De  quiuhaitische  regelschaar  (c)'  bestaat  dus  uit 
hoofdstralen,  die  ieder  zijn  toegevoegd  aan  de  stralen  van  een 
ster  [C]. 
3.  Als  U.  om  een  [)unt  7'  wentelt,  zal  6'?  zich  langs  verplaat- 
sen en  de  waaiei-,  die  6)5  tot  top  heeft  en  waarvan  de  stralen  t' 
rusten  op  de  in  [u]  aan  toegevoegde  rechte  t'y_,  zal  een  congruen- 
tie bepalen.  De  punteni-eeks,  welke  6’;  op  c,?  beschrijft,  is  projectief 
met  den  waaier  [T'),  dien  t'y  doorloopt;  wordt  zij  uit  eenig  punt 
M op  a geprojecteerd,  dan  zullen  er  twee  stralen  t'y  zijn,  die  dooi- 
de projectie  van  het  overeenkomstige  punt  gaan.  Door  M gaan 
dus  twee  sti-alen  der  congruentie.  Een  willekeurig  vlak  p bevat  één 
punt  en  tevens  den  doorgang  van  den  overeenkomstigen  straal 
t'y,  dus  één  straal  t'  der  congruentie.  De  rvanier  [ty)  wordt  dus  af- 
gebeeld  door  een  congruentie  (2,  J). 
Daar  de  straal  T' in  elk  van  zijn  standen  tot  de  (2,1)  behoort, 
is  een  der  singuliere  vlakken  der  congruentie.  Ook  « is  een 
singulier  vlak,  want  het  bevat  den  waaier,  waarvan  de  top  in  het 
snijpunt  6':^  Cjs  van  c met  b ligt. 
4.  Wanneer  t een  waaier  ( 7',  r)  in  het  vlak  t doorloopt,  zullen 
zijn  doorgangen  P en  Q op  de  rechten  p ~iix  en  q = ^r  projec- 
tieve reeksen  beschrijven.  Maai-  dan  zijn  ook  de  pnntenreeksen, 
welke  de  homologe  [uinten  P'  en  Q'  op  //  en  q'  beschrijven, 
projectief,  zoodat  P' Q'  een  quadratische  regelschaar  zal  doorloopen. 
In  de  transformatie  is  derhalve  het  beeld  van  een  ivaaier  in 
het  algemeen  een  quadratische  regelschaar. 
Als  t een  stralenveld  p beschrijft,  zullen  de  doorgangen  P en  Q 
op  de  rechten  p = ap  en  q = dp  blijven;  dan  liggen  P'  en  Q'  op 
de  homologe  rechten  p'  en  q' . Het  .stralenveld  wordt  dus  afgebeeld 
door  een  bilineaire  congruentie. 
De  in  p gelegen  straal  t'  verbindt  de  punten  />//  en  qq' , is  dus 
een  dubbelstraal  der  involutie. 
